Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước giải bài 1.63 trang 36, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất.
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thay \(m = 2\) và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\), sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.
Ý c: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\). Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.
Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.
Lời giải chi tiết
a) Khi \(m = 2\) hàm số trở thành \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm \(y'\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\), tức là \(3 - 2m \ne - 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Để \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) thì \({\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}\).
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2\).
d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Trường hợp 1: \( - 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\). Suy ra \(1 \le m < 2\)
Trường hợp 2: \(3 - 2m < - 1 \Leftrightarrow m > 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên trường hợp này ta có \(m > 2\).
Vậy \(m \ge 1\).
Bài 1.63 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào chủ đề về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp, và các công thức đạo hàm cơ bản để tìm đạo hàm của hàm số cho trước.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tính f'(x).)
Để giải bài toán về đạo hàm, bạn cần nắm vững các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa. Ví dụ:
f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2 + 2) = d/dx (x^3) - 3d/dx (x^2) + d/dx (2) = 3x^2 - 6x + 0 = 3x^2 - 6x
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 là f'(x) = 3x^2 - 6x.)
Ngoài bài 1.63, còn rất nhiều dạng bài tập đạo hàm khác mà bạn có thể gặp phải. Dưới đây là một số dạng bài tập phổ biến:
Để học tốt môn Toán 12, bạn có thể tham khảo một số mẹo sau:
Hy vọng bài giải chi tiết bài 1.63 trang 36 sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán về đạo hàm. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào thực tế để đạt kết quả tốt nhất.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
