Bài 13. Tính chất ba đường cao của tam giác

Trong hình học, đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của tam giác xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng kéo dài của cạnh đối diện). Mỗi tam giác có ba đường cao, và chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trực tâm của tam giác.

I. Khái niệm đường cao của tam giác

Đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A, ký hiệu là AH, là đoạn thẳng vuông góc từ A đến cạnh BC (hoặc đường thẳng BC). Điểm H là chân đường cao.

II. Tính chất ba đường cao của tam giác

Ba đường cao đồng quy: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là trực tâm (H) của tam giác.
Vị trí của trực tâm:
- Trong tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác.
- Trong tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.
- Trong tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác.

III. Chứng minh tính chất ba đường cao đồng quy

Để chứng minh ba đường cao đồng quy, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp hình học: Sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, và các góc trong tam giác để chứng minh.
Phương pháp tọa độ: Sử dụng hệ tọa độ để tìm phương trình đường cao và giải hệ phương trình để tìm giao điểm.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng AH = BC.

Giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên trực tâm H trùng với đỉnh A. Do đó, AH = 0. Tuy nhiên, đề bài có thể có sai sót. Nếu đề bài là chứng minh BH = AC thì:

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: BH² + AH² = AB². Vì AH = 0, nên BH² = AB², suy ra BH = AB. Tương tự, xét tam giác ACH vuông tại H, ta có: CH² + AH² = AC², suy ra CH² = AC², do đó CH = AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng HA = 2R.cosA, HB = 2R.cosB, HC = 2R.cosC (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Giải:

(Chứng minh bài này đòi hỏi kiến thức về đường tròn ngoại tiếp và các công thức lượng giác, vượt quá phạm vi bài học cơ bản lớp 7. Có thể bỏ qua hoặc đơn giản hóa bài toán này cho phù hợp với trình độ học sinh.)

V. Kết luận

Bài học về tính chất ba đường cao của tam giác là một phần quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!