Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa phép đối xứng trục:

Phép đối xứng trục D_a qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Kí hiệu: D_a(M) = M’

Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng của phép đối xứng D_a.

2. Tính chất của phép đối xứng trục:

• Bảo toàn khoảng cách: M₁M₂ = M’₁M’₂
• Bảo toàn góc: (M₁M₂, M₁M₃) = (M’₁M’₂, M’₁M’₃)
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng a có phương trình Ax + By + C = 0. Phép đối xứng trục D_a biến điểm M(x₀, y₀) thành điểm M’(x’, y’) có tọa độ được tính bởi công thức:

x’ = x₀ - 2A(Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²)

y’ = y₀ - 2B(Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²)

4. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép đối xứng trục D_x=3.

Giải:

Đường thẳng đối xứng có phương trình x - 3 = 0. Áp dụng công thức tọa độ, ta có:

x’ = 1 - 2(1)(1 - 3) / (1² + 0²) = 1 - 2(-2) = 5

y’ = 2 - 2(0)(1 - 3) / (1² + 0²) = 2

Vậy, A’(5, 2).

5. Bài tập áp dụng:

1. Tìm ảnh của điểm B(-2, 3) qua phép đối xứng trục D_y=1.
2. Tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng 2x + y - 1 = 0 qua phép đối xứng trục D_x=0.
3. Cho tam giác ABC với A(0, 0), B(1, 1), C(2, 0). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục D_y=x.

6. Mở rộng và liên hệ thực tế:

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong thiết kế họa tiết, kiến trúc, và các lĩnh vực khoa học khác. Hiểu rõ về phép đối xứng trục giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và sáng tạo.

7. Tổng kết:

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép đối xứng trục. Hy vọng rằng, sau bài học này, các em sẽ nắm vững kiến thức và có thể áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.