Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong chuyên đề này, chúng tôi sẽ cùng bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 14 và 15 của sách Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là \(\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right),\) N có tọa độ là \(\left( {{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.
b) Tính \(M{N^2},{\rm{ }}M'N{'^2}\;\) theo tọa độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.
Phương pháp giải:
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) M' và N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục d (trục Oy).
Do đó \(M'\left( {-{\rm{ }}{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\) và \(N'\left( {-{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{y_2}} \right).\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\\M'N{'^2} = {\left( {\sqrt {{{( - {x_2} - ( - {x_1}))}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} } \right)^2} = {\rm{ }}{-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}.\end{array}\)
c) Ta có: \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; = {\rm{ }}{({x_1}\;-{\rm{ }}{x_2})^2}\; = {\rm{ }}{(-{\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}.\)
Do đó \({({x_2}\;-{\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\; = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x_2}\; + {\rm{ }}{x_1})^2}\; + {\rm{ }}{({y_2}\;-{\rm{ }}{y_1})^2}\) hay \(M{N^2}\; = {\rm{ }}M'N{'^2}\)
Suy ra \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
Phương pháp giải:
- Lấy 2 điểm A, B thuộc d. Sau đó tìm ảnh của A, B qua phép đối xứng Ox là A’, B’. Ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A’B’.
- Nếu thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Lấy hai điểm A(0; – 1) và B(1; 2) thuộc d.
Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó A'(0; 1) và B'(1; – 2).
Vì d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox nên A' và B' thuộc d'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {1;\, - 3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {3;\,1} \right)\)
Vậy d' có phương trình là 3(x – 0) + (y – 1) = 0 hay 3x + y – 1 = 0.
Cách 2:
Gọi \(M'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó \(x'{\rm{ }} = {\rm{ }}x\) và \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}y.\)
Ta có: \(M\; \in \;d\; \Leftrightarrow \;3x-y-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x'-\left( {-y'} \right)-1 = 0\; \Leftrightarrow \;3x' + {\rm{ }}y'-1{\rm{ }} = 0\;\;\)
Vậy M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Cho đường thẳng \(\Delta \) và hai điểm A, B, sao cho \(\Delta \) không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên \(\Delta \) (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Chứng minh M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì AB cố định nên d cố định.
Do A, B, M, M' là 4 đỉnh của hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy nên MM' là đáy còn lại của hình thang cân và đường trung trực d của đoạn thẳng AB cũng là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Do đó M' là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d.
Mặt khác, M thuộc đường thẳng ∆ nên M' thuộc đường thẳng \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Vậy rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định \(\Delta \)' là ảnh của đường thẳng \(\Delta \) qua phép đối xứng trục d.
Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
Phương pháp giải:
Có một đường thẳng chia hình thành hai phần bằng nhau mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Được gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng là trục đối xứng của nó.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ảnh ta thấy hình thứ hai từ trái sang có trục đối xứng.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2 trang 14 và 15, đồng thời giải thích rõ ràng các bước thực hiện và các lưu ý quan trọng.
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
Lưu ý: (Giải thích các lưu ý quan trọng liên quan đến bài tập)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
(Giải thích chi tiết các bước giải)
Đề bài: (Giả định một đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
(Giải thích chi tiết các bước giải)
Việc giải các bài tập trong mục 2 trang 14 và 15 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về lý thuyết và khả năng áp dụng linh hoạt các công thức và phương pháp giải. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm thêm các bài tập tương tự và tham khảo các nguồn tài liệu khác để nâng cao kiến thức và kỹ năng của mình.
Giaibaitoan.com hy vọng rằng những lời giải chi tiết và dễ hiểu này sẽ giúp bạn học tập tốt hơn và đạt được kết quả cao trong môn Toán. Chúc bạn thành công!
Để hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập trong mục này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa:
| STT | Nội dung | Kết quả |
|---|---|---|
| 1 | Tính giá trị của biểu thức... | ... |
| 2 | Giải phương trình... | ... |
Hãy luôn kiểm tra lại kết quả của mình trước khi đưa ra kết luận cuối cùng. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu bạn gặp khó khăn trong quá trình giải bài tập.
