Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài tập này ngay dưới đây!
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và hai điểm \(A\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}B\left( {-{\rm{ }}3;{\rm{ }}4} \right).\)
a) Tìm tọa độ điểm \(A'\) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục \(\Delta \)
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào kiến thức đã học về phép đối xứng trục để làm
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(2{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( {-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0\) nên \(A\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) không thuộc ∆.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.
Vì H thuộc ∆ nên \(H\left( {x;2x-1} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AH} = (x + 1;2x - 3)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,2} \right)\)
Vì AH vuông góc với ∆ nên \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right).1 + \left( {2x - 3} \right).2 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Từ đó suy ra H(1; 1).
Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'.
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.1 - \left( { - 1} \right) = 3}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.1 - 2 = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy A'(3; 0).
b)
Ta có: \(2.\left( {-3} \right)-4-1{\rm{ }} = -11;{\rm{ 2}}.\left( {-1} \right)-2-1 = -5\) và \(\left( {-11} \right).\left( {-5} \right) = 55 > 0\)nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.
Vì M thuộc \(\Delta \) và A và A' đối xứng nhau qua \(\Delta \) nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng \(\Delta \).
Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và \(\Delta \).
Ta có: \(\overrightarrow {A'B} = ( - 6;4)\), suy ra \(\overrightarrow {{n_{A'B}}} = (2;3)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là \(2\left( {x-3} \right) + 3\left( {y-0} \right) = 0\) hay \(2x + 3y-6 = 0.\)
Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 1 = 0}\\{2x + 3y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{9}{8}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(M\left( {\frac{9}{8};\,\frac{5}{4}} \right)\).
Bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm điểm cực trị của hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số được đề cập trong bài toán và xác định tập xác định của hàm số đó. Việc này đảm bảo rằng các phép toán đạo hàm sẽ được thực hiện trên một tập hợp hợp lệ.
Tiếp theo, chúng ta cần tính đạo hàm cấp nhất của hàm số. Đạo hàm cấp nhất sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm dừng của hàm số, tức là các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Sau khi tính được đạo hàm cấp nhất, chúng ta cần tìm các điểm dừng của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm cấp nhất bằng 0. Các điểm dừng này là các ứng cử viên cho các điểm cực trị của hàm số.
Để xác định xem các điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay không, chúng ta cần xét dấu đạo hàm cấp nhất trong các khoảng lân cận của các điểm dừng. Nếu đạo hàm cấp nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại. Ngược lại, nếu đạo hàm cấp nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Trong một số trường hợp, việc tính đạo hàm cấp hai có thể giúp chúng ta xác định các điểm cực trị một cách nhanh chóng hơn. Nếu đạo hàm cấp hai tại một điểm dừng dương, thì điểm đó là điểm cực tiểu. Nếu đạo hàm cấp hai tại một điểm dừng âm, thì điểm đó là điểm cực đại.
(Giả sử bài toán cụ thể là: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2)
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số có ý nghĩa rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là các bài tập về đạo hàm, bạn nên:
Hy vọng rằng lời giải chi tiết và phân tích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
