Giải bài 2.18 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 2.18 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

Bài 2.18 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số và miền xác định

Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số cần khảo sát và xác định miền xác định của hàm số đó. Trong bài toán này, hàm số thường được cho dưới dạng biểu thức toán học hoặc mô tả bằng lời. Việc xác định miền xác định là bước quan trọng để đảm bảo tính hợp lệ của các phép toán đạo hàm.

2. Tính đạo hàm cấp nhất

Sau khi xác định được hàm số, chúng ta tiến hành tính đạo hàm cấp nhất của hàm số. Đạo hàm cấp nhất đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các điểm cực trị của hàm số. Công thức tính đạo hàm cấp nhất phụ thuộc vào dạng của hàm số, ví dụ như đạo hàm của hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit,…

3. Tìm các điểm cực trị

Để tìm các điểm cực trị của hàm số, chúng ta giải phương trình đạo hàm cấp nhất bằng 0. Các nghiệm của phương trình này chính là các điểm cực trị của hàm số. Sau khi tìm được các điểm cực trị, chúng ta cần kiểm tra xem đó là điểm cực đại hay điểm cực tiểu bằng cách sử dụng dấu của đạo hàm cấp nhất hoặc đạo hàm cấp hai.

4. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

Dựa vào dấu của đạo hàm cấp nhất, chúng ta có thể xác định khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số. Nếu đạo hàm cấp nhất dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm cấp nhất âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước, chúng ta cần xét các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng đó. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó sẽ là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đã xét.

Ví dụ minh họa giải bài 2.18 trang 49

Giả sử bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

1. Xác định hàm số và miền xác định: f(x) = x³ - 3x² + 2, miền xác định là [-1; 3].
2. Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 3x² - 6x.
3. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
4. Khảo sát tính đơn điệu:
   • Trên khoảng (-1; 0), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
   • Trên khoảng (0; 2), f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
   • Trên khoảng (2; 3), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
   • f(-1) = -4
   • f(0) = 2
   • f(2) = -2
   • f(3) = 2
   Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -4, đạt được tại x = -1.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

• Nắm vững các công thức tính đạo hàm cơ bản.
• Kiểm tra kỹ miền xác định của hàm số.
• Sử dụng dấu của đạo hàm cấp nhất hoặc đạo hàm cấp hai để xác định điểm cực đại, điểm cực tiểu.
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số để hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn có thể tự tin giải bài 2.18 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!