Chuyên đề 1: Phép biến hình trong mặt phẳng

Chuyên đề 1 của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức giới thiệu về các phép biến hình trong mặt phẳng, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Đây là những công cụ cơ bản để nghiên cứu về hình học phẳng và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác.

1. Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nó được xác định bởi một vectơ tịnh tiến v. Nếu điểm M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ, thì ảnh của nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (a, b) là điểm M'(x₀ + a, y₀ + b).

2. Phép quay

Phép quay là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ và góc giữa hai đường thẳng bất kỳ. Nó được xác định bởi một tâm quay O và một góc quay α.

Công thức: Nếu điểm M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ, thì ảnh của nó qua phép quay tâm O(0, 0) góc α là điểm M'(x', y') được tính bởi:
- x' = x₀cosα - y₀sinα
- y' = x₀sinα + y₀cosα

3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm đối xứng của nó qua một trục cho trước. Trục này được gọi là trục đối xứng.

Nếu điểm M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ và đường thẳng d: ax + by + c = 0 là trục đối xứng, thì ảnh của M qua phép đối xứng trục d là điểm M'(x', y') được tính bởi:

Công thức:

(x' - x₀) / a = (y' - y₀) / b = -2(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm đối xứng của nó qua một tâm cho trước. Tâm này được gọi là tâm đối xứng.

Nếu điểm M(x₀, y₀) là một điểm bất kỳ và điểm I(a, b) là tâm đối xứng, thì ảnh của M qua phép đối xứng tâm I là điểm M'(x', y') được tính bởi:

Công thức:

x' = 2a - x₀
y' = 2b - y₀

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về các phép biến hình, chúng ta hãy xem xét một số bài tập sau:

Tìm ảnh của điểm A(1, 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3, -1).
Tìm ảnh của điểm B(-2, 3) qua phép quay tâm O(0, 0) góc 90^o.
Tìm ảnh của điểm C(4, -1) qua phép đối xứng trục Ox.
Tìm ảnh của điểm D(0, 5) qua phép đối xứng tâm I(2, -3).

6. Ứng dụng của các phép biến hình

Các phép biến hình có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Thiết kế đồ họa: Các phép biến hình được sử dụng để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh đẹp mắt và độc đáo.
Robot học: Các phép biến hình được sử dụng để điều khiển chuyển động của robot.
Vật lý: Các phép biến hình được sử dụng để mô tả sự biến đổi của các vật thể trong không gian.

Hy vọng rằng chuyên đề này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về các phép biến hình trong mặt phẳng. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.