Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 27, 28, 29 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).
b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
- Dựa và quy tắc hiệu \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)
Lời giải chi tiết:
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \).
b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.
c) Viết phương trình của (C').
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\)
Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)}\\{{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - 3 = - 4}\\{{y_{I'}} - 5 = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = - 1}\\{{y_{I'}} = - 1}\end{array}} \right.\)
Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.
c) Phương trình đường tròn (C'): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)
Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M'¸điểm N thành điểm N'.
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OM'} ,\,\overrightarrow {ON'} \) tương ứng theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {ON} \).
b) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
- Dựa và quy tắc hiệu \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)
- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)
Lời giải chi tiết:
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \).
b) Ta có: \(\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).
b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.
c) Viết phương trình của (C').
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có (C): \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)
Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.
b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V(A, 2) và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)\)
Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V(A, 2) nên \(\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)}\\{{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} - 3 = - 4}\\{{y_{I'}} - 5 = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = - 1}\\{{y_{I'}} = - 1}\end{array}} \right.\)
Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.
c) Phương trình đường tròn (C'): \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}{10^2}\;\)hay \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}100.\)
Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
Phương pháp giải:
Quan sát hình ảnh để trả lời
Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.
Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
Phương pháp giải:
Quan sát hình ảnh để trả lời
Lưu ý: Phép vị tự chỉ thay đổi kích thước, không làm thay đổi hình dạng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về vectơ trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong giải quyết các bài toán hình học không gian.
Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 2, trang 27, 28, 29. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, đưa ra phương pháp giải phù hợp và lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Bài 1 yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ. Để giải bài này, chúng ta cần sử dụng các quy tắc cộng, trừ vectơ và quy tắc nhân với một số thực. Lời giải chi tiết:
Bài 2 yêu cầu học sinh tìm tọa độ của một vectơ. Để giải bài này, chúng ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ khi biết tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối. Lời giải chi tiết:
Bài 3 là một bài toán ứng dụng vectơ trong hình học không gian. Bài toán yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức liên quan đến các vectơ trong một hình chóp. Lời giải chi tiết:
Để giải bài này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, và các tính chất của hình chóp. Chúng ta sẽ phân tích hình chóp, xác định các vectơ liên quan, và sử dụng các quy tắc vectơ để chứng minh đẳng thức.
Để học tốt môn Toán 11, đặc biệt là phần vectơ trong không gian, các em cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về các bài tập trong mục 2 trang 27, 28, 29 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
