Bài 35. Định lí Pythagore và ứng dụng

Định lí Pythagore là một trong những nền tảng cơ bản của hình học Euclide, được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagore. Định lí này mô tả mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông.

1. Phát biểu Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Nếu tam giác ABC vuông tại A, thì:

AB² + AC² = BC²

Trong đó:

AB và AC là hai cạnh góc vuông
BC là cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông)

2. Chứng minh Định lí Pythagore

Có nhiều cách để chứng minh Định lí Pythagore. Một trong những cách phổ biến nhất là sử dụng diện tích hình vuông:

Xét hình vuông ABCD có cạnh bằng a + b. Trong hình vuông này, ta vẽ bốn tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có cạnh góc vuông là a và b, và cạnh huyền là c. Khi đó, diện tích hình vuông ABCD bằng diện tích của bốn tam giác vuông cộng với diện tích của hình vuông ở giữa có cạnh là c.

(a + b)² = 4 * (1/2 * a * b) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

3. Ứng dụng của Định lí Pythagore

Định lí Pythagore có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học:

Tính độ dài cạnh của tam giác vuông: Nếu biết độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, ta có thể sử dụng Định lí Pythagore để tính độ dài cạnh còn lại.
Kiểm tra một tam giác có phải là tam giác vuông hay không: Nếu ba cạnh của một tam giác thỏa mãn Định lí Pythagore, thì tam giác đó là tam giác vuông.
Giải các bài toán hình học: Định lí Pythagore được sử dụng để giải nhiều bài toán liên quan đến hình học, chẳng hạn như tính chiều cao của một tam giác, tính khoảng cách giữa hai điểm, v.v.
Trong xây dựng và kiến trúc: Định lí Pythagore được sử dụng để đảm bảo các góc vuông chính xác trong xây dựng và kiến trúc.
Trong hàng hải và hàng không: Định lí Pythagore được sử dụng để tính toán khoảng cách và hướng đi.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.

Áp dụng Định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5cm

Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có DE = 5cm, EF = 12cm, DF = 13cm. Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông.

Ta có: DE² + EF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

DF² = 13² = 169

Vì DE² + EF² = DF², nên tam giác DEF là tam giác vuông theo Định lí Pythagore.

5. Lưu ý quan trọng

Định lí Pythagore chỉ áp dụng cho các tam giác vuông. Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất trong một tam giác vuông. Khi sử dụng Định lí Pythagore, cần đảm bảo rằng các đơn vị đo lường của các cạnh là giống nhau.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Định lí Pythagore và các ứng dụng của nó. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!