Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b (0 ≤ θ ≤ 180°).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

3. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• |a|² = a.a

4. Ứng dụng của tích vô hướng

a. Xác định góc giữa hai vectơ

Sử dụng công thức a.b = |a||b|cos(θ), ta có thể tính góc θ giữa hai vectơ a và b:

cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)

b. Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ

Hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:

a.b = 0

c. Tính diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b là:

S = |a x b| = |a_xb_y - a_yb_x|

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính a.b.

Giải:a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho a = (1; -1) và b = (2; 2). Xác định xem hai vectơ này có vuông góc hay không.

Giải:a.b = (1)(2) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0. Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

6. Luyện tập

1. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:
• a = (3; -2), b = (1; 5)
• a = (-4; 1), b = (2; -3)
2. Xác định xem các cặp vectơ sau có vuông góc hay không:
• a = (2; -1), b = (1; 2)
• a = (5; 3), b = (-3; 5)

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc các em học tập tốt!