Bài 5 trang 101 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một người dùng một lực F có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m.
Đề bài
Một người dùng một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp \(\overrightarrow F \) với hướng dịch chuyển là một góc \(60^\circ \). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính công: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \)
Lời giải chi tiết
Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) được tính bằng công thức
\(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90.100.\cos 60^\circ = 4500\) (J)
Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn bằng 4500 (J)
Bài 5 trang 101 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) và các tính chất của chúng.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD.
a) Chứng minh overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}
Vì ABCD là hình bình hành nên overrightarrow{AB} =overrightarrow{DC} và overrightarrow{AD} =overrightarrow{BC}. M là trung điểm của BC nên overrightarrow{BM} = 1/2overrightarrow{BC} = 1/2overrightarrow{AD}.
Xét tam giác BCD, ta có N là giao điểm của AM và BD. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AM, ta có:
(CA/AD) * (DM/MB) * (BN/NC) = 1
Vì overrightarrow{DM} =overrightarrow{DC} +overrightarrow{CM} =overrightarrow{AB} - 1/2overrightarrow{AD} và overrightarrow{MB} = 1/2overrightarrow{AD} nên DM/MB = (AB - 1/2AD) / (1/2AD) = 2AB/AD - 1.
Tuy nhiên, cách tiếp cận này khá phức tạp. Ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ khác.
Ta có overrightarrow{BD} =overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}. Ta cần chứng minh overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD}, tức là overrightarrow{BN} = 2/3(overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}).
Vì N là giao điểm của AM và BD, nên tồn tại số k sao cho overrightarrow{AN} = koverrightarrow{AM}. Ta có overrightarrow{AM} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BM} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{BC} =overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}.
Do đó, overrightarrow{AN} = k(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}). Mặt khác, overrightarrow{AN} =overrightarrow{AB} +overrightarrow{BN}. Suy ra overrightarrow{BN} = k(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) -overrightarrow{AB} = (k-1)overrightarrow{AB} + k/2overrightarrow{AD}.
Vì N nằm trên BD, nên overrightarrow{BN} = toverrightarrow{BD} = t(overrightarrow{AD} -overrightarrow{AB}) với t là một số thực. So sánh hai biểu thức của overrightarrow{BN}, ta có:
(k-1) = -t và k/2 = t. Từ đó suy ra k/2 = 1-k, hay k = 2/3. Vậy overrightarrow{BN} = 2/3overrightarrow{BD} (đpcm).
b) Chứng minh overrightarrow{AN} = 1/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}
Từ phần a, ta đã có k = 2/3. Do đó, overrightarrow{AN} = 2/3overrightarrow{AM} = 2/3(overrightarrow{AB} + 1/2overrightarrow{AD}) = 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}. Vậy overrightarrow{AN} = 2/3overrightarrow{AB} + 1/3overrightarrow{AD}.
Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng các định lý và tính chất của vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững kiến thức về vectơ là nền tảng quan trọng cho việc học tập các môn Toán ở các lớp trên.
