Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định dấu của tam thức bậc hai, ứng dụng của lý thuyết này trong việc giải bất phương trình bậc hai và các bài toán thực tế khác.
A. Lý thuyết 1. Tam thức bậc hai
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai
| Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai. |
Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.
- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).
- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).
- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó: - Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x). - Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x). |
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). - Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\). - Nếu \(\Delta = 0\) và \({x_0} = - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\). - Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó: + f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\). + f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\). |
Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:
B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).
B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).
B3: Xác định dấu của hệ số a.
B4: Xác định dấu của f(x).
B. Bài tập
Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.
A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)
B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)
C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)
D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)
Giải:
\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).
\(f(2) = - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.
Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:
a) \({x^2} + x + 1\).
b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).
c) \(2{x^2} + 6x - 8\).
Giải:
a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
b) \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).
c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:
Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).
Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong đại số, đặc biệt là khi giải các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai và các bài toán thực tế. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các vấn đề này một cách hiệu quả.
Tam thức bậc hai là một biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0.
Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0. Phương trình này có thể có hai nghiệm phân biệt (x1, x2), một nghiệm kép (x1 = x2), hoặc không có nghiệm thực.
Delta (Δ) được tính bằng công thức: Δ = b2 - 4ac. Delta đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của nghiệm:
Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và delta (Δ). Ta xét các trường hợp sau:
Bảng xét dấu là một công cụ hữu ích để tóm tắt dấu của tam thức bậc hai trong các khoảng khác nhau của x. Ví dụ, nếu a > 0 và Δ > 0, bảng xét dấu sẽ có dạng:
| x | x < x1 | x1 < x < x2 | x > x2 |
|---|---|---|---|
| f(x) | + | - | + |
Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán sau:
Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x2 - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, và c = 2. Tính delta: Δ = (-5)2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tìm nghiệm: x1 = 1 và x2 = 2. Vì a = 2 > 0, tam thức f(x) dương khi x < 1 hoặc x > 2, và âm khi 1 < x < 2.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
