Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về đường tròn, phương trình đường tròn và các ứng dụng của nó trong giải toán.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để bạn có thể tự tin chinh phục môn Toán.
A. Lý thuyết 1. Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có M(x;y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi
A. Lý thuyết
1. Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có M(x;y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi
\(IM = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}} = R \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\). |
Nhận xét: Phương trình đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} > c\). Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) tại điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn là: \(({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0\). |
B. Bài tập
Bài 1:
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16\).
b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).
Giải:
a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({(x - 2)^2} + {(y - ( - 3))^2} = {4^2}\).
Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.
b) Đường tròn (C’) có tâm J(2;-1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:
\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 64\).
Bài 2: Phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Giải:
Từ phương trình, ta có \(a = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2\); \(b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1\); c = -4.
Suy ra \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {( - 1)^2} - ( - 4) = 9 > 0\).
Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3\).
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;1), B(0;-2), C(0;2).
Giải:
Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a;b). Ta có \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).
Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {(1 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2}\\{(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {(2 - b)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4\\{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = 4b + 2\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\).
Đường tròn tâm I(1;0) bán kính \(R = IC = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4} = \sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}\).
Vậy phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {y^2} = 5\).
Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình \({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5\). Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).
Giải:
Do \({(0 + 1)^2} + {(1 - 3)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến \( - 1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).
Đường tròn là một trong những hình học cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học. Trong mặt phẳng tọa độ, đường tròn được biểu diễn bằng một phương trình cụ thể, cho phép chúng ta nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến hình học một cách chính xác và hiệu quả.
Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Trong đó:
Ngoài phương trình tổng quát, đường tròn còn có các dạng phương trình khác:
Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:
a² + b² - c > 0
Khi đó, tâm của đường tròn là I(a; b) và bán kính là R = √(a² + b² - c)
Xét điểm M(x₀; y₀) và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R²:
Xét đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R²:
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0
Giải:
Ta có: a = 2, b = -3, c = -3
a² + b² - c = 2² + (-3)² - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0
Vậy phương trình trên là phương trình của một đường tròn có tâm I(2; -3) và bán kính R = √16 = 4
Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(3; 4)
Giải:
Bán kính R = IA = √((3 - 1)² + (4 - 2)²) = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
Phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y - 2)² = (2√2)² = 8
Lý thuyết đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
