Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 10 của giaibaitoan.com. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 65, 66, 67 sách giáo khoa Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong học tập.
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 880 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\\\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}\)
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.\)
Vậy \(BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.\)
Phương pháp giải:
Với \(\widehat A = {90^o}\) ta sử dụng định lí Pytago.
Với \(\widehat A \ne {90^o}\): Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP\cos M\)
Mà \(MN = 4,MP = 3,\widehat M = {60^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow N{P^2} = {4^2} + {3^2} - 2.4.3\cos {60^o} = 13\\ \Leftrightarrow NP = \sqrt {13} \approx 3,6\end{array}\)
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và \(\widehat C \ge \widehat B.\) Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Nếu \(\widehat B > \widehat C\) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên \(\cos A = - \frac{x}{b}.\)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) có thể viết là \({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \({70^o}\) (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 800,AC = 900,\widehat A = {70^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {900^2} + {800^2} - 2.900.800\cos {70^o} \approx 957490,9936\\ \Leftrightarrow BC \approx 978,5147\end{array}\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.
Phương pháp giải:
Với \(\widehat A = {90^o}\) ta sử dụng định lí Pytago.
Với \(\widehat A \ne {90^o}\): Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\end{array}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP\cos M\)
Mà \(MN = 4,MP = 3,\widehat M = {60^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow N{P^2} = {4^2} + {3^2} - 2.4.3\cos {60^o} = 13\\ \Leftrightarrow NP = \sqrt {13} \approx 3,6\end{array}\)
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và \(\widehat C \ge \widehat B.\) Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Nếu \(\widehat B > \widehat C\) thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lưu ý: Vì A là góc tù nên \(\cos A = - \frac{x}{b}.\)
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) có thể viết là \({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
Lời giải chi tiết:
a) ? = x vì \(\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.\)
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: \({a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc\) (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \({b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}\) (2)
\(\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
c) Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Mà \(\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.\)
\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\\\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}\)
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.\)
Vậy \(BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.\)
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc \({70^o}\) (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)
Mà \(AB = 800,AC = 900,\widehat A = {70^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {900^2} + {800^2} - 2.900.800\cos {70^o} \approx 957490,9936\\ \Leftrightarrow BC \approx 978,5147\end{array}\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các khái niệm cơ bản về số thực. Việc nắm vững những kiến thức này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chương tiếp theo.
Các bài tập trên trang 65 thường yêu cầu học sinh xác định các tập hợp, thực hiện các phép toán hợp, giao, hiệu, bù của các tập hợp, và chứng minh các đẳng thức liên quan đến tập hợp. Để giải quyết những bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa và tính chất của các phép toán trên tập hợp.
Trang 66 tập trung vào các bài tập về số thực, bao gồm việc biểu diễn số thực trên trục số, so sánh các số thực, và thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên số thực. Học sinh cần nắm vững các tính chất của số thực và các quy tắc thực hiện các phép toán.
Trang 67 là phần tổng hợp các bài tập từ các chủ đề trước, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Đây là cơ hội để học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
| Bài tập | Nội dung |
|---|---|
| Bài 7 | Giải phương trình: 2x + 5 = 11. |
| Bài 8 | Tìm giá trị của x để biểu thức: x² - 4x + 4 có giá trị nhỏ nhất. |
Để giải bài tập Toán 10 hiệu quả, học sinh nên:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
