Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 94, 95 SGK Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập trong mục này tập trung vào các kiến thức cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của tập hợp trong giải quyết các bài toán thực tế.
Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ.
Cho vectơ \(\overrightarrow a \). Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)\): (Hình 1)
Lời giải chi tiết:
Dựa vào hình 1 ta thấy
Vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow a = \overrightarrow {AC} \) có độ dài bằng 2 lần vectơ \(\overrightarrow a \)và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)
Vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)= \overrightarrow {DF}\) có độ dài bằng 2 lần vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right)\) và cùng hướng với vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right)\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc 3 điểm \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))
Cho hai vectơ cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và điểm M như hình 3.
a) Hãy vẽ vectơ \(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow a ,\overrightarrow {MP} = - 3\overrightarrow b \)
b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: \(\left| {3\overrightarrow b } \right|,\left| { - 3\overrightarrow b } \right|,\left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hướng của vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \)
Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow x } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow a \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải
\(\overrightarrow {MP} = - 3\overrightarrow b \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \( - \overrightarrow b \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \)
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái
b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là \(\sqrt 2 \); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \) . Suy ra:
\(\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow { - b} } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
Từ điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow a \) vẽ một vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow b \) ta có \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)
Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ \(\overrightarrow c \)là \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }} \right)} = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 2 }^2} - 2.2.\sqrt 2 .\cos \left( {135^\circ } \right)} = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt {10} \)
Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \) của tàu B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \) của tòa A.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow b = - \frac{5}{2}\overrightarrow a \)
Cho vectơ \(\overrightarrow a \). Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)\): (Hình 1)
Lời giải chi tiết:
Dựa vào hình 1 ta thấy
Vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow a = \overrightarrow {AC} \) có độ dài bằng 2 lần vectơ \(\overrightarrow a \)và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)
Vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)= \overrightarrow {DF}\) có độ dài bằng 2 lần vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right)\) và cùng hướng với vectơ \(\left( { - \overrightarrow a } \right)\)
Cho hai vectơ cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và điểm M như hình 3.
a) Hãy vẽ vectơ \(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow a ,\overrightarrow {MP} = - 3\overrightarrow b \)
b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: \(\left| {3\overrightarrow b } \right|,\left| { - 3\overrightarrow b } \right|,\left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hướng của vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \)
Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow x } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow a \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải
\(\overrightarrow {MP} = - 3\overrightarrow b \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \( - \overrightarrow b \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \)
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái
b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là \(\sqrt 2 \); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \) . Suy ra:
\(\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow { - b} } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
Từ điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow a \) vẽ một vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow b \) ta có \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)
Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ \(\overrightarrow c \)là \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }} \right)} = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 2 }^2} - 2.2.\sqrt 2 .\cos \left( {135^\circ } \right)} = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt {10} \)
Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc 3 điểm \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA}\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))
Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \) của tàu B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \) của tòa A.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow b = - \frac{5}{2}\overrightarrow a \)
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo giới thiệu về khái niệm tập hợp, các phép toán trên tập hợp và một số ứng dụng cơ bản. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trang 94 và 95, đồng thời hướng dẫn các em phương pháp giải hiệu quả.
Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, được dùng để nhóm các đối tượng có chung một tính chất nào đó. Các phần tử trong tập hợp có thể là số, chữ cái, hình ảnh, hoặc bất kỳ đối tượng nào khác. Ký hiệu tập hợp thường được viết bằng chữ cái in hoa, ví dụ: A, B, C,...
Các phép toán trên tập hợp cho phép chúng ta tạo ra các tập hợp mới từ các tập hợp đã cho. Các phép toán phổ biến bao gồm:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 1 trang 94 và 95 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
Lời giải:
Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 6}. Tìm:
Lời giải:
Để giải các bài tập về tập hợp một cách hiệu quả, các em nên:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và phương pháp giải bài tập về tập hợp một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
