Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 54, 55 SGK Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán Toán 10 và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên) a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12 m/s b) Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m. Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong Hình 11.
Đề bài
Vận dụng trang 55 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên)
a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12 m/s
b) Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m.
Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong Hình 11.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Lần phát cầu được xem là hợp lệ nếu cầu ở trên mặt lưới (tại vị trí lưới phân cách) và điểm rơi không ra khỏi đường biên cuối sân đối phương.
Lập phương trình quỹ đạo của cầu lông: \(y = \frac{{ - g{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan (\alpha ).x + {y_0}\)
a) Chỉ ra điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài bằng cách tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi
b) Tìm tung độ của điểm (có hoành độ là điểm đặt lưới phân cách) với độ cao của lưới.
Tính khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi xem cầu có thuộc khu vực được tính là hợp lệ hay không.
Lời giải chi tiết
a)
Chọn hệ trục tọa độ như Hình 9 (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).
Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), góc phát cầu \(\alpha = {30^o}\), vận tốc ban đầu \({v_0} = 12\;m/s\), phương trình quỹ đạo của cầu là:
\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.12}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7 = - \frac{{4,9}}{{108}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7\)
Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình \( - \frac{{4,9}}{{108}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7 = 0\) ta được \({x_1} \approx - 1,11\) và \({x_2} \approx 13,84\)
Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m > 13,4 m (chiều dài cả sân)
Vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài.
b)
Ta so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành động bằng khoảng cách từ điểm phát cầu đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới.
Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), góc phát cầu \(\alpha = {30^o}\), vận tốc ban đầu \({v_0} = 8\;m/s\), vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m. Phương trình quỹ đạo của cầu là:
\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.8}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3 = - \frac{{4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3\)
Khi \(x = 4,\)ta có \(y = - \frac{{4,9}}{{48}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 1,3 \approx 1,98 > 1,524\)
Vậy quỹ đạo của cầu cao hơn mép trên của lưới.
Tiếp theo ta kiểm tra vị trí cầu rơi có vượt đường biên ngoài hoặc chưa tới đường biên trong hay không.
Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình \(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.8}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3 = - \frac{{4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3\) ta được \({x_1} \approx - 1,73\) và \({x_2} \approx 7,38\)
Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7.38 m.
Dễ thấy: độ dài h (chiều dài của khu vực hợp lệ) là: \(13,4:2 - 1,98 -0,76= 3,96\) (m).
Do đó lần phát là hợp lệ nếu khoảng cách từ vị trí phát đến điểm rơi thuộc khoảng \(4 + 1,98 = 5,98(m)\) và \(4 + 1,98 +3,96= 9,94(m)\) và \(5,98 < 7,38 < 9,94\).
Như vậy vị trí quả cầu trên mặt đất nằm giữa đường biên trong và đường biên ngoài.
Kết luận: lần phát cầu này được coi là hợp lệ.
Mục 4 của chương trình Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào các khái niệm và ứng dụng của vectơ trong mặt phẳng. Các bài tập trang 54 và 55 SGK yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học và đại số.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định tọa độ của một vectơ dựa trên tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Công thức cơ bản được sử dụng là: Nếu A(xA, yA) và B(xB, yB) thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA).
Ví dụ: Cho A(1, 2) và B(3, 5). Tìm tọa độ của vectơ AB. Giải: Vectơ AB có tọa độ (3 - 1, 5 - 2) = (2, 3).
Bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số thực. Các phép toán này được thực hiện theo quy tắc sau:
Ví dụ: Cho vectơ a = (1, -2) và b = (3, 4). Tính vectơ a + b và 2a. Giải: a + b = (1 + 3, -2 + 4) = (4, 2). 2a = (2 * 1, 2 * -2) = (2, -4).
Bài tập này yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ bằng cách sử dụng các quy tắc và tính chất của vectơ. Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp hình học.
Ví dụ: Chứng minh rằng vectơ OA + vectơ BC = vectơ OC. Giải: Sử dụng phương pháp tọa độ, ta có thể chứng minh đẳng thức này bằng cách thay tọa độ của các điểm A, B, C, O vào và kiểm tra xem đẳng thức có đúng hay không.
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học và đại số. Vectơ có thể được sử dụng để:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Tọa độ của vectơ AB | (xB - xA, yB - yA) |
| Phép cộng vectơ | (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) |
| Phép nhân vectơ với một số thực | k(x, y) = (kx, ky) |
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập mục 4 trang 54, 55 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
