Hàm số bậc hai là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng của chương trình Toán 10. Việc nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết Hàm số bậc hai SGK Toán 10 – CTST, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn hiểu sâu sắc và áp dụng kiến thức vào thực tế.
1. Hàm số bậc hai 2. Đồ thị hàm số bậc hai
1. Hàm số bậc hai
+ Định nghĩa:
Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\)
+ Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
2. Đồ thị hàm số bậc hai
+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):
- Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
- Trục đối xứng: đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
- Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)
- Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)
* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
+) Bảng biến thiên
+) Kết luận:
\(a > 0\) | \(a < 0\) | |
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) | Hàm số nghịch biến | Hàm số đồng biến |
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) | Hàm số đồng biến | Hàm số nghịch biến |
GTLN hoặc GTNN | Đạt GTNN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\) | Đạt GTLN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\) |
Tập giá trị | \(T = \left[ {\left. {\frac{{ - \Delta }}{{4a}}; + \infty } \right)} \right.\) | \(T = \left( {\left. { - \infty ;\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right]} \right.\) |
4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
+) Tầm bay cao và tầm bay xa
Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:
\(y = \frac{{ - g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)
Trong đó:
\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất
Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
- Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.
+) Bài toán ứng dụng
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.
Hàm số bậc hai là một hàm số có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Đây là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hàm số bậc hai được xác định bởi ba hệ số a, b, và c. Mỗi hệ số này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất của đồ thị hàm số:
Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị hàm số. Tọa độ đỉnh (x₀, y₀) được tính như sau:
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng vuông góc với trục hoành và đi qua đỉnh của parabol. Phương trình của trục đối xứng là x = -b / 2a.
Bảng biến thiên giúp ta hình dung được sự thay đổi của hàm số khi x thay đổi. Dựa vào dấu của a và vị trí của đỉnh, ta có thể vẽ được bảng biến thiên chính xác.
Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có các nghiệm được tính bằng công thức nghiệm:
x₁₂ = (-b ± √Δ) / 2a (với Δ = b² - 4ac)
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong hình chữ U, được gọi là parabol. Các yếu tố quan trọng để vẽ parabol:
Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Việc hiểu rõ lý thuyết và các ứng dụng của hàm số bậc hai là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan và áp dụng kiến thức vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!
| Đặc điểm | Nếu a > 0 | Nếu a < 0 |
|---|---|---|
| Độ mở của parabol | Mở lên trên | Mở xuống dưới |
| Vị trí của đỉnh | Điểm thấp nhất | Điểm cao nhất |
