Trong chương trình học toán, đặc biệt là phần hình học vectơ, Tích của một số với một Vectơ là một khái niệm cơ bản và quan trọng. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vectơ một cách hiệu quả.
Bài viết này tại giaibaitoan.com sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết này, bao gồm định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế.
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
+) Tích của một số thực \(k\)với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\)
+) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và
Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\)
Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\)
+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}\)
2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
+) Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b .\)
+) Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .\)
+) Chú ý:
Cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c \) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m;n)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\,\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b \)
Trong hình học vectơ, tích của một số thực k với một vectơ a, ký hiệu là ka, là một phép toán cơ bản. Phép toán này tạo ra một vectơ mới có:
Cho vectơ a = (x; y) và số thực k. Tích của số k với vectơ a là vectơ ka = (kx; ky).
Cho vectơ a = (2; -3) và số thực k = -2. Tính vectơ ka.
Giải:
ka = -2(2; -3) = (-4; 6)
Tích của một số với một vectơ có nhiều ứng dụng trong hình học và vật lý, bao gồm:
1. Cho vectơ a = (1; 4) và số thực k = 3. Tính vectơ ka.
2. Cho vectơ b = (-2; 5) và số thực k = -1. Tính vectơ kb.
3. Cho hai vectơ a = (x; y) và b = (2x; -y). Chứng minh rằng 2a + b = (4x; y).
Lý thuyết Tích của một số với một Vectơ là nền tảng quan trọng trong hình học vectơ. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép toán này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này!
