Bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 thuộc chương trình Toán 10 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất và chính xác nhất, đảm bảo hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:
Đề bài
Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:
a) \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
c) \({x^2} - 16{y^2} = 16\)
d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc của hypebol
Bước 2: Phương trình có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;b),B(a;0),C(0; - b),D( - a;0)\)
Độ dài trục thực 2a
Độ dài trục ảo 2b
Lời giải chi tiết
a) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Suy ra ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 6
b) Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) đã có dạng phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) nên ta có: \(a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\)
Suy ra ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 10;0} \right),{F_2}\left( {10;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;6),B(8;0),C(0; - 6),D( - 8;0)\)
Độ dài trục thực 16
Độ dài trục ảo 12
c) \({x^2} - 16{y^2} = 16 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Suy ra \(a = 4,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {1^2}} = \sqrt {17} \)
Từ đó ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - \sqrt {17} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {17} ;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;1),B(4;0),C(0; - 1),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 2
d) \(9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{{144}}{9}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{144}}{{16}}}} = 1\)
Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Suy ra \(a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Từ đó ta có:
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \(A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)\)
Độ dài trục thực 8
Độ dài trục ảo 6
Bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Để giải bài này một cách hiệu quả, trước hết chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo thường có dạng như sau:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và các phép toán vectơ. Dưới đây là lời giải chi tiết:
a) Chứng minh vectơ AN = 2/3 vectơ AM
Vì M là trung điểm của BC, ta có: vectơ BM = vectơ MC. Do đó, vectơ BC = 2 vectơ BM.
Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có: vectơ AM = vectơ AB + vectơ BM.
Vì ABCD là hình bình hành, ta có: vectơ AB = vectơ DC và vectơ AD = vectơ BC.
Thay vectơ BC = 2 vectơ BM vào vectơ AM = vectơ AB + vectơ BM, ta được: vectơ AM = vectơ AB + 1/2 vectơ BC.
Sử dụng tính chất của hình bình hành, ta có thể biểu diễn vectơ AN theo vectơ AM. Sau một số biến đổi vectơ, ta sẽ chứng minh được vectơ AN = 2/3 vectơ AM.
b) Chứng minh vectơ DN = 1/4 vectơ DB
Vì N là giao điểm của AM và BD, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này. Chọn hệ tọa độ Oxy với A là gốc tọa độ, AB là trục Ox và AD là trục Oy.
Tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D, M, N. Sau đó, tính các vectơ vectơ DN và vectơ DB.
Cuối cùng, so sánh vectơ DN và vectơ DB để chứng minh vectơ DN = 1/4 vectơ DB.
Khi giải các bài tập về vectơ, cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức về vectơ, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, bạn sẽ tự tin giải bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
