Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết khái niệm vectơ tại giaibaitoan.com! Vectơ là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong hình học và vật lý. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về vectơ, bao gồm định nghĩa, các phép toán cơ bản và ứng dụng của nó.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm như vectơ, độ dài vectơ, vectơ đơn vị, và các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số thực. Hi vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế.
1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ
1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ
+) Vecto là một đoạn thẳng có hướng.
Ví dụ: i) vecto \(\overrightarrow {AB} \): (đọc là vecto AB)
ii) Vecto \(\overrightarrow {BA} \):
iii) vecto \(\overrightarrow u \): (khi không chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối)
+) Giá của vecto: là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto đó.
Ví dụ: Giá của vecto \(\overrightarrow {CD} \) là đường thẳng CD
+) Độ dài của vecto là \(\overrightarrow {AB} \) là độ dài đoạn thẳng AB.
Kí hiệu: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\).
2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU
+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ:
Ba vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
Trong đó 2 vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng, còn 2 vecto \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.
+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU - VECTƠ ĐỐI NHAU
+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
+) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.
Kí hiệu: \(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \) (vecto \(\overrightarrow b \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \))
+) Với mỗi điểm O và vecto \(\overrightarrow a \) cho trước, có duy nhất điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \)
4. VECTƠ - KHÔNG
+) Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ví dụ: \(\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,...\)
Kí hiệu chung là \(\overrightarrow 0 \).
* Chú ý:
- Vecto không có độ dài bằng 0.
- Vecto \(\overrightarrow 0 \) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.
- Mọi vecto-không đều bằng nhau: \(\overrightarrow 0 = \overrightarrow {AA} = \;\overrightarrow {BB} = ...\)
- Vecto đối của vecto-không là chính nó.
Vectơ là một khái niệm nền tảng trong toán học, đặc biệt quan trọng trong hình học giải tích và vật lý. Hiểu rõ về vectơ là bước đầu tiên để giải quyết nhiều bài toán phức tạp.
Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ thường được ký hiệu bằng một chữ cái in hoa hoặc một cặp điểm, ví dụ: AB hoặc a. Điểm bắt đầu của đoạn thẳng được gọi là điểm gốc, và điểm kết thúc được gọi là điểm ngút.
Vectơ không là vectơ có độ dài bằng 0 và không có hướng xác định. Nó được ký hiệu là 0. Vectơ không là phần tử trung hòa trong phép cộng vectơ.
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Vectơ đơn vị thường được sử dụng để chỉ hướng. Vectơ đơn vị trên trục x được ký hiệu là i, và vectơ đơn vị trên trục y được ký hiệu là j.
Phép cộng vectơ tuân theo quy tắc hình bình hành. Nếu có hai vectơ a và b, tổng của chúng, ký hiệu là a + b, là vectơ tạo thành cạnh thứ tư của hình bình hành có hai cạnh là a và b.
Công thức cộng vectơ theo tọa độ:
Nếu a = (x1, y1) và b = (x2, y2) thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
Phép trừ vectơ là phép cộng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai. Vectơ đối của a, ký hiệu là -a, có cùng độ dài nhưng ngược hướng với a.
Công thức trừ vectơ theo tọa độ:
Nếu a = (x1, y1) và b = (x2, y2) thì a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
Phép nhân vectơ với một số thực k (k ∈ R) làm thay đổi độ dài của vectơ. Nếu k > 0, hướng của vectơ không đổi. Nếu k < 0, hướng của vectơ bị đảo ngược.
Công thức nhân vectơ với một số thực theo tọa độ:
Nếu a = (x, y) và k ∈ R thì k.a = (kx, ky)
Trong một hệ tọa độ vuông góc, một vectơ có thể được biểu diễn bằng tọa độ của điểm ngút trừ tọa độ của điểm gốc.
Ví dụ: Nếu A(x1, y1) và B(x2, y2) thì vectơ AB có tọa độ là (x2 - x1, y2 - y1).
Để củng cố kiến thức về khái niệm vectơ, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về lý thuyết khái niệm vectơ. Hãy tiếp tục luyện tập để nắm vững kiến thức này và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.
