Định lý Cosin và Định lý Sin là những công cụ quan trọng trong việc giải tam giác, đặc biệt là các bài toán liên quan đến hình học. Nắm vững hai định lý này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau trong chương trình học toán.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu cùng với các ví dụ minh họa chi tiết để bạn có thể nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
1. Định lí cosin 2. Định lí sin
1. Định lí cosin
Trong tam giác ABC:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}\)
Hệ quả
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
2. Định lí sin
Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Hệ quả
\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)
3. Các công thức tính diện tích tam giác
1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)
2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)
3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)
4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)
5) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (Công thức Heron)
Định lý Cosin và Định lý Sin là hai công cụ cơ bản và quan trọng trong việc giải tam giác bất kỳ. Chúng cho phép chúng ta tìm ra các cạnh và góc còn thiếu của tam giác khi biết một số thông tin nhất định.
Trong một tam giác ABC bất kỳ, ta có:
Trong đó:
Ứng dụng của Định lý Sin:
Trong một tam giác ABC bất kỳ, ta có:
Ứng dụng của Định lý Cosin:
Định lý Sin và Định lý Cosin là hai công cụ bổ sung cho nhau trong việc giải tam giác. Tùy thuộc vào thông tin đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai định lý hoặc kết hợp cả hai để tìm ra các yếu tố còn thiếu của tam giác.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc A = 60°. Tính độ dài cạnh BC.
Giải:
Áp dụng Định lý Cosin, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60°
BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5
BC^2 = 49
BC = 7
Vậy, độ dài cạnh BC là 7cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 10cm, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính độ dài cạnh AB.
Giải:
Áp dụng Định lý Sin, ta có:
\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
Tính góc A: A = 180° - B - C = 180° - 45° - 60° = 75°
AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A}
AB = \frac{10 \cdot \sin 60°}{\sin 75°}
AB \approx 8.98
Vậy, độ dài cạnh AB xấp xỉ 8.98cm.
Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Lý thuyết Định lí Cosin và Định lí Sin. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải toán.
