Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của một mẫu số liệu trong chương trình Toán 10 CTST.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về trung bình cộng, trung vị và mốt, các khái niệm quan trọng giúp ta hiểu rõ hơn về sự phân bố và xu hướng của dữ liệu.
Giaibaitoan.com mang đến bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng các bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ
Cho mẫu số liệu \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}\).
+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là \(\overline x \), được tính bằng công thức: \(\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}\).
+) Mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì:
\(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + {n_3}{x_3} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)
Với \({n_i}\) là tần số của giá trị \({x_i}\) và \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
+) Ý nghĩa: Số trung bình dùng để đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.
2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ
a. Trung vị
+) Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), ta dùng trung vị để đo xu thế trung tâm.
Ví dụ: mẫu số liệu: 1 3 2 3 4 20
+) Tìm trung vị \({M_e}\):
Bước 1: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm \({X_1},{X_2},..,{X_n}\).
Bước 2: Cỡ mẫu = n.
+ Nếu n lẻ (\(n = 2k - 1\)) thì \({M_e} = {X_k}\).
+ Nếu n chẵn (\(n = 2k\)) thì \({M_e} = \frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\).
+) Ý nghĩa: Trung vị là giá trị ở vị trí chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường như số trung bình.
b. Tứ phân vị
Tứ phân vị gồm 3 giá trị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\), nó chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành 4 phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.
+) Các bước tìm tứ phân vị:
Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tìm trung vị, chính là \({Q_2}\).
Bước 3: \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ).
Bước 4: \({Q_3}\)là trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ).
+) Chú ý:
\({Q_1}\) còn được gọi là tứ phân vị thứ nhất hoặc tứ phân vị dưới, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới.
\({Q_3}\) còn được gọi là tứ phân vị thứ ba hoặc tứ phân vị trên, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.
3. MỐT
+) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.
+) Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.
+) Nhận xét
- Mốt có thể không là duy nhất. Một mẫu có thể có nhiều mốt
- Khi các giá trị trong mẫu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.
Trong thống kê, các số đặc trưng đo xu thế trung tâm đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả và tóm tắt một tập dữ liệu. Chúng giúp chúng ta xác định giá trị điển hình hoặc trung tâm của dữ liệu, từ đó đưa ra những nhận xét và kết luận có ý nghĩa.
Trung bình cộng là tổng của tất cả các giá trị trong một mẫu số liệu chia cho số lượng giá trị đó. Ký hiệu: x̄
Công thức: x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n, trong đó:
Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Trung bình cộng của mẫu số liệu này là: (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6
Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi các giá trị trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Cách tìm trung vị:
Ví dụ 1: Cho mẫu số liệu: 3, 1, 7, 5, 9. Sắp xếp lại: 1, 3, 5, 7, 9. Trung vị là 5 (vị trí (5 + 1) / 2 = 3).
Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8. Trung vị là (4 + 6) / 2 = 5 (vị trí 4 / 2 = 2 và (4 / 2) + 1 = 3).
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong một mẫu số liệu.
Một mẫu số liệu có thể có một mốt (unimodal), nhiều mốt (multimodal) hoặc không có mốt (nếu tất cả các giá trị đều xuất hiện với tần số bằng nhau).
Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6. Mốt của mẫu số liệu này là 5 (xuất hiện 3 lần).
Mỗi số đặc trưng đo xu thế trung tâm có những ưu điểm và nhược điểm riêng, và phù hợp với các loại dữ liệu khác nhau:
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:
Để củng cố kiến thức về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Chúc bạn học tập tốt!
