Tích vô hướng của hai vecto là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 10 Chương trình Công nghệ. Nó đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết này.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến những bài giảng chất lượng cao, giúp bạn học Toán 10 CTST một cách hiệu quả nhất.
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
1. GÓC GIỮA HAI VECTO
Cho hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \(\overrightarrow 0 \). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) , kí hiệu \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
a) Cách xác định góc:
Chọn điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \widehat {BAC}\).
b) Các trường hợp đặc biệt:
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0 \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng
+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO
+) Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \;\overrightarrow v \;\;\)
+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)
3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}\)
Hệ quả
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)
Tích vô hướng của hai vecto là một phép toán cơ bản trong hình học vectơ, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các ứng dụng trong hình học phẳng và không gian.
Cho hai vectơ a = (a1; a2) và b = (b1; b2). Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, được định nghĩa là:
a.b = a1b1 + a2b2
Trong không gian, cho hai vectơ a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3). Tích vô hướng của a và b được định nghĩa là:
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Tích vô hướng của hai vectơ còn có thể được biểu diễn thông qua góc θ giữa chúng:
a.b = |a||b|cosθ
Từ đó, ta có thể suy ra:
cosθ = (a.b) / (|a||b|)
Bài 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a.b.
Giải:a.b = 2*1 + (-1)*3 = 2 - 3 = -1
Bài 2: Cho a = (1; 2; -1) và b = (0; -1; 2). Tính a.b.
Giải:a.b = 1*0 + 2*(-1) + (-1)*2 = 0 - 2 - 2 = -4
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ trong chương trình Toán 10 CTST. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
