Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 61, 62 SGK Toán 10 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án và cách giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào các kiến thức cơ bản về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của chúng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn Tìm các giá trị lượng giác của góc 135
Tìm các giá trị lượng giác của góc \({135^o}\)
Phương pháp giải:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {135^o}\)
Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị \(\cos {135^o},\;\sin {135^o}\)
Từ đó suy ra\(\;\tan {135^o} = \frac{{\sin {{135}^o}}}{{\cos {{135}^o}}},\;\;\cot {135^o} = \frac{{\cos {{135}^o}}}{{\sin {{135}^o}}}.\)
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {135^o}\), H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.
Ta có: \(\widehat {MOy} = {135^o} - {90^o} = {45^o}\).
Tam giác OMH vuông cân tại H nên \(OH = MH = \frac{{OM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy tọa độ điểm M là \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)
Vậy theo định nghĩa ta có:
\(\begin{array}{l}\;\sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\;\cos {135^o} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\\;\tan {135^o} = - 1;\;\;\cot {135^o} = - 1.\end{array}\)
Chú ý
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({135^o}\)
Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:
Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)
Tính \(\sin {135^o}\), bấm phím: sin 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tính \(\cos {135^o}\),bấm phím: cos 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)
Tính \(\tan {135^o}\), bấm phím: tan 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \( - 1\)
(Để tính \(\cot {135^o}\), ta tính \(1:\tan {135^o}\))
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính \(R = 1\) nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn \(\alpha ,\)lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Giả sử điểm M có tọa độ \(({x_0};{y_0}).\) Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:
\(\sin \alpha = {y_0};\;\cos \alpha = {x_0};\;\tan \alpha = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}};\;\cot \alpha = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}.\)
Phương pháp giải:
Tam giác vuông OHM có \(\alpha = \widehat {xOM}\)
\(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}};\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}};\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha = \widehat {xOM}\)
Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}};\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}}.\)
Mà \(MH = {y_0};OH = {x_0};OM = 1.\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{{y_0}}}{1} = {y_0};\;\cos \alpha = \frac{{{x_0}}}{1} = {x_0}\;.\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính \(R = 1\) nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn \(\alpha ,\)lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Giả sử điểm M có tọa độ \(({x_0};{y_0}).\) Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:
\(\sin \alpha = {y_0};\;\cos \alpha = {x_0};\;\tan \alpha = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}};\;\cot \alpha = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}.\)
Phương pháp giải:
Tam giác vuông OHM có \(\alpha = \widehat {xOM}\)
\(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}};\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}};\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha = \widehat {xOM}\)
Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{MH}}{{OM}};\;\cos \alpha = \frac{{OH}}{{OM}}.\)
Mà \(MH = {y_0};OH = {x_0};OM = 1.\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{{y_0}}}{1} = {y_0};\;\cos \alpha = \frac{{{x_0}}}{1} = {x_0}\;.\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}};\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}.\)
Tìm các giá trị lượng giác của góc \({135^o}\)
Phương pháp giải:
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {135^o}\)
Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị \(\cos {135^o},\;\sin {135^o}\)
Từ đó suy ra\(\;\tan {135^o} = \frac{{\sin {{135}^o}}}{{\cos {{135}^o}}},\;\;\cot {135^o} = \frac{{\cos {{135}^o}}}{{\sin {{135}^o}}}.\)
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {135^o}\), H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.
Ta có: \(\widehat {MOy} = {135^o} - {90^o} = {45^o}\).
Tam giác OMH vuông cân tại H nên \(OH = MH = \frac{{OM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy tọa độ điểm M là \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)
Vậy theo định nghĩa ta có:
\(\begin{array}{l}\;\sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\;\cos {135^o} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\\;\tan {135^o} = - 1;\;\;\cot {135^o} = - 1.\end{array}\)
Chú ý
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({135^o}\)
Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:
Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)
Tính \(\sin {135^o}\), bấm phím: sin 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tính \(\cos {135^o}\),bấm phím: cos 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)
Tính \(\tan {135^o}\), bấm phím: tan 1 3 5 \(^o\)’’’ = ta được kết quả là \( - 1\)
(Để tính \(\cot {135^o}\), ta tính \(1:\tan {135^o}\))
Mục 1 của chương trình Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm tập hợp, các ký hiệu và các phép toán cơ bản trên tập hợp. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên. Bài tập trang 61 và 62 SGK Toán 10 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Các bài tập trong mục này thường xoay quanh các chủ đề sau:
Bài 1 yêu cầu học sinh liệt kê các phần tử của các tập hợp cho trước. Để giải bài này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của tập hợp và cách xác định các phần tử thuộc tập hợp. Ví dụ, nếu tập hợp A là tập hợp các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, thì các phần tử của A là {0, 2, 4, 6, 8}.
Bài 2 yêu cầu học sinh thực hiện phép hợp của hai tập hợp. Để giải bài này, học sinh cần nhớ rằng phép hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai). Ký hiệu phép hợp là A ∪ B.
Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện phép giao của hai tập hợp. Để giải bài này, học sinh cần nhớ rằng phép giao của hai tập hợp A và B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Ký hiệu phép giao là A ∩ B.
Bài 4 yêu cầu học sinh tìm phần bù của một tập hợp trong một tập hợp cho trước. Để giải bài này, học sinh cần nhớ rằng phần bù của tập hợp A trong tập hợp B là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Ký hiệu phần bù là B \ A.
Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 6}. Hãy tìm:
Để củng cố kiến thức về tập hợp, các em có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh đã có thể tự giải thành công các bài tập mục 1 trang 61, 62 SGK Toán 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!
