Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’, O, M thẳng hàng và OM’ = k.OM, với O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự (k > 0).

• Tâm vị tự (O): Điểm cố định trong phép vị tự.
• Tỉ số vị tự (k): Hệ số xác định độ lớn của phép biến hình. Nếu k > 1, phép vị tự là phép phóng to. Nếu 0 < k < 1, phép vị tự là phép thu nhỏ.

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B bị biến đổi thành A’ và B’ qua phép vị tự, thì khoảng cách AB = A’B’.

Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(x₀, y₀) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’), thì:

• x’ = x₀ + k(x - x₀)
• y’ = y₀ + k(y - y₀)

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và thực tế, bao gồm:

• Chứng minh sự đồng dạng của các hình: Sử dụng phép vị tự để biến một hình thành một hình đồng dạng với nó.
• Giải các bài toán hình học: Áp dụng phép vị tự để tìm ra mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng và hình.
• Thiết kế và xây dựng: Sử dụng phép vị tự để tạo ra các mô hình và bản vẽ kỹ thuật.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(2; 3) tỉ số k = 2.

Giải:

• A’(x_A’, y_A’) = (2 + 2(1 - 2), 3 + 2(2 - 3)) = (0; 1)
• B’(x_B’, y_B’) = (2 + 2(3 - 2), 3 + 2(4 - 3)) = (4; 5)
• C’(x_C’, y_C’) = (2 + 2(5 - 2), 3 + 2(1 - 3)) = (8; -1)

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

7. Kết luận

Bài 6. Phép vị tự là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!