Bài 2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - SGK Toán 9 - Cánh diều

Trong hình học lớp 9, đặc biệt là chương trình Cánh diều, việc nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác vuông là vô cùng quan trọng. Bài 2 trong SGK Toán 9 tập 1 tập trung vào việc tìm hiểu mối quan hệ giữa các cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về các hệ thức này, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập để bạn có thể hiểu rõ hơn.

I. Tóm tắt lý thuyết

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (90 độ). Các cạnh kề góc vuông được gọi là cạnh góc vuông, cạnh đối diện góc vuông được gọi là cạnh huyền. Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có các hệ thức sau:

1. Hệ thức giữa cạnh và góc:
   • sin B = đối / huyền = AC / BC
   • cos B = kề / huyền = AB / BC
   • tan B = đối / kề = AC / AB
   • cot B = kề / đối = AB / AC
2. Các hệ thức lượng cơ bản:
   • AC² = BC * BD (với D là hình chiếu của A lên BC)
   • AB² = BC * BE (với E là hình chiếu của A lên BC)
   • AH² = BD * DC (với H là chân đường cao hạ từ A xuống BC)
   • AB * AC = AH * BC
   • 1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

Trong đó:

• sin, cos, tan, cot là các hàm lượng giác của góc nhọn.
• BD, DC, BE là các đoạn thẳng trên cạnh huyền BC.
• AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.

Giải:

Áp dụng định lý Pitago, ta có: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

• sin B = AC / BC = 4 / 5 = 0.8
• cos B = AB / BC = 3 / 5 = 0.6
• tan B = AC / AB = 4 / 3 ≈ 1.33
• cot B = AB / AC = 3 / 4 = 0.75

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 5cm. Tính AB, AC.

Giải:

Ta có: AB² = BH * BC và AC² = CH * BC. Ngoài ra, BH + CH = BC = 5cm.

Sử dụng hệ thức AH² = BH * CH, ta có: 2² = BH * CH => BH * CH = 4

Giải hệ phương trình: BH + CH = 5 và BH * CH = 4, ta được BH = 1cm và CH = 4cm (hoặc ngược lại).

• AB = √(BH * BC) = √(1 * 5) = √5 cm
• AC = √(CH * BC) = √(4 * 5) = √20 = 2√5 cm

III. Bài tập luyện tập

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC, sin B, cos B, tan B, cot B.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 13cm, AB = 5cm. Tính AC, sin B, cos B, tan B, cot B.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 4cm, BH = 3cm. Tính CH, AB, AC.
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 9cm. Tính đường cao AH.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.