Bài 2. Phép đồng dạng

Bài 2. Phép đồng dạng - Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các hình tương đồng và các ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và phương pháp giải các bài tập liên quan đến phép đồng dạng trong chương trình Toán 11, sách Cánh Diều.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn tỷ số khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu hai điểm A và B biến thành A' và B' qua phép đồng dạng, thì tỷ lệ giữa khoảng cách A'B' và AB là một hằng số dương, gọi là tỷ số đồng dạng k.

Công thức tổng quát của phép đồng dạng:

V(x, y) = (ax + by + c, dx + ey + f), trong đó a² + d² ≠ 0 và k = √(a² + d²)

2. Tính chất của phép đồng dạng

Bảo toàn tính thẳng hàng: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' cũng thẳng hàng.
Bảo toàn tỷ số khoảng cách: A'B' / AB = k (k là tỷ số đồng dạng).
Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng được bảo toàn qua phép đồng dạng.
Biến đường tròn thành đường tròn: Phép đồng dạng biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Các loại phép đồng dạng

Phép vị tự: Là một phép đồng dạng đặc biệt mà tâm của nó là một điểm cố định.
Phép quay: Là một phép đồng dạng mà tâm của nó là một điểm cố định và góc quay là một góc bất kỳ.
Phép tịnh tiến: Là một phép đồng dạng mà tỷ số đồng dạng k = 1.
Phép co giãn: Là một phép đồng dạng mà tâm của nó là một điểm cố định và tỷ số đồng dạng k ≠ 1.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng có tâm O(0; 0) và tỷ số đồng dạng k = 2.

Giải:

Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép đồng dạng. Ta có:

A'(2 * 1; 2 * 2) = A'(2; 4)

B'(2 * 3; 2 * 4) = B'(6; 8)

C'(2 * 5; 2 * 1) = C'(10; 2)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có tâm I(2; -1) và bán kính r = 3. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỷ số đồng dạng k = -1.

Giải:

Gọi I' là ảnh của I qua phép vị tự. Ta có I'(-2; 1).

Bán kính của đường tròn (C') là r' = |k| * r = |-1| * 3 = 3.

Vậy, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm I'(-2; 1) và bán kính r' = 3.

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để thu nhỏ hoặc phóng to bản đồ.
Thiết kế đồ họa: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các hình ảnh tương đồng với các kích thước khác nhau.
Kiến trúc: Phép đồng dạng được sử dụng để thiết kế các công trình kiến trúc có tỷ lệ hài hòa.
Nghiên cứu khoa học: Phép đồng dạng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như vật lý, hóa học và sinh học.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép đồng dạng, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến như giaibaitoan.com.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đồng dạng. Chúc bạn học tập tốt!