Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 Chuyên đề học tập của giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1, trang 26, 27, 28, 29, 30 sách Toán 11 Cánh Diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (Hình 47).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và \(\overrightarrow {OM} ;\,\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Lấy điểm O và điểm M bất kì;
- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \) (tham khảo Hình 47).
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.
Lời giải chi tiết:
Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\). Khi đó ta có:
\(\overrightarrow {OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ;\,\,\overrightarrow {OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \). Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {OA'} ,\,\overrightarrow {OB'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} \).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow {OB} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB'} - \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OA} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = k\overrightarrow {AB} \) (theo quy tắc hiệu).
Vậy \(\overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \), từ đó suy ra \(A'B' = \left| k \right|AB.\)
Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {B'C'} \) lần lượt theo các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} \).
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) có ngược hướng không?
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(A' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right),{\rm{ }}B' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( B \right),{\rm{ }}C' = {V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( C \right).\) nên \(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \).
b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng với nhau.
c) +) Với k > 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} ,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
+) Với k < 0, ta có:
\(\overrightarrow {B'A'} = k\overrightarrow {BA} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'A'} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng với nhau.
\(\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau.
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng với nhau nên hai vectơ và ngược hướng với nhau.
Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null và \(\overrightarrow {B'C'} \) ngược hướng với nhau.
Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.
Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và \(R' = \;\left| k \right|R\)
Lời giải chi tiết:
Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - \frac{1}{2}\) thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính \(R' = \;\left| { - \frac{1}{2}} \right|R = \frac{1}{2}R\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh Diều tập trung vào các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm định nghĩa, ý nghĩa hình học và các quy tắc tính đạo hàm của hàm số. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Các bài tập trên trang 26 chủ yếu yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số đơn giản. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần hiểu rõ công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa và thực hành tính toán một cách cẩn thận.
Trang 27 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm. Học sinh cần hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và hệ số góc của tiếp tuyến để giải quyết các bài tập này.
Ví dụ, để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 tại điểm x = 2, ta cần tính đạo hàm của hàm số y = x2, sau đó thay x = 2 vào đạo hàm để tìm hệ số góc.
Các trang 28 và 29 giới thiệu các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp. Việc nắm vững các quy tắc này giúp học sinh tính đạo hàm của các hàm số phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác.
Trang 30 là phần tổng hợp các bài tập về đạo hàm, yêu cầu học sinh vận dụng tất cả các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết các bài toán đa dạng. Đây là cơ hội để học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tính đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1) / (x - 2).
Để giải bài tập này, ta cần sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương. Ta có:
y' = [(x2 + 1)'(x - 2) - (x2 + 1)(x - 2)'] / (x - 2)2
y' = [2x(x - 2) - (x2 + 1)] / (x - 2)2
y' = (2x2 - 4x - x2 - 1) / (x - 2)2
y' = (x2 - 4x - 1) / (x - 2)2
Lời khuyên: Để học tốt môn Toán 11, các em cần thường xuyên luyện tập, làm bài tập và tìm hiểu các kiến thức liên quan. Ngoài ra, các em có thể tham khảo các tài liệu học tập, video bài giảng và các trang web học toán online để nâng cao kiến thức và kỹ năng.
Giaibaitoan.com hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu này, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
