Chuyên đề II. Làm quen với một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị

Chuyên đề II: Làm quen với một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị - Toán 11 Cánh Diều

Lí thuyết đồ thị là một nhánh của toán học rời rạc, nghiên cứu về các đồ thị. Đồ thị là một cấu trúc toán học dùng để mô hình hóa các mối quan hệ giữa các đối tượng. Nó bao gồm các đỉnh (vertices) và các cạnh (edges) nối giữa các đỉnh.

1. Định nghĩa đồ thị

Một đồ thị G = (V, E) bao gồm một tập hợp V các đỉnh và một tập hợp E các cạnh. Mỗi cạnh nối hai đỉnh. Đồ thị có thể có hướng (directed graph) hoặc vô hướng (undirected graph).

• Đồ thị vô hướng: Cạnh nối hai đỉnh A và B không phân biệt thứ tự, tức là cạnh (A, B) và (B, A) là một.
• Đồ thị có hướng: Cạnh nối hai đỉnh A và B có thứ tự, tức là cạnh (A, B) khác với cạnh (B, A). Cạnh (A, B) được gọi là cung từ A đến B.

2. Các khái niệm cơ bản

Một số khái niệm quan trọng trong lí thuyết đồ thị:

• Bậc của đỉnh: Số lượng cạnh kề với một đỉnh. Trong đồ thị vô hướng, bậc của đỉnh là số cạnh nối với đỉnh đó. Trong đồ thị có hướng, bậc của đỉnh là tổng số cung đi vào và đi ra khỏi đỉnh đó.
• Đỉnh cô lập: Đỉnh không có cạnh nào kề với nó.
• Đường đi: Một dãy các đỉnh liên tiếp nhau bởi các cạnh.
• Chu trình: Một đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh.
• Đồ thị liên thông: Đồ thị mà giữa hai đỉnh bất kỳ luôn có đường đi.
• Đồ thị đầy đủ: Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều được nối với nhau bằng một cạnh.

3. Biểu diễn đồ thị

Có hai cách phổ biến để biểu diễn đồ thị:

• Ma trận kề: Một ma trận vuông có kích thước n x n, trong đó n là số đỉnh của đồ thị. Phần tử a_ij bằng 1 nếu có cạnh giữa đỉnh i và đỉnh j, và bằng 0 nếu không có.
• Danh sách kề: Mỗi đỉnh được liên kết với một danh sách các đỉnh kề với nó.

4. Ví dụ minh họa

Xét đồ thị vô hướng G = (V, E) với V = {A, B, C, D} và E = {(A, B), (A, C), (B, C), (C, D)}.

Đồ thị này liên thông. Không có đỉnh cô lập.

5. Ứng dụng của lí thuyết đồ thị

Lí thuyết đồ thị có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Mạng xã hội: Mô hình hóa các mối quan hệ giữa người dùng.
• Mạng máy tính: Mô hình hóa cấu trúc mạng.
• Giao thông vận tải: Mô hình hóa mạng lưới đường xá.
• Lập kế hoạch: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm.
• Phân tích dữ liệu: Tìm các mẫu và mối quan hệ trong dữ liệu.

Chuyên đề này là nền tảng quan trọng để các em có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến lí thuyết đồ thị. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.