Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 Cánh Diều tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 5, trang 17, 18, 19 và 20 của Chuyên đề học tập Toán 11.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
Ta có tam giác ABC đều có O là trọng tâm nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 120^\circ \) và \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OC\). Vì phép quay với góc quay – 120° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay – 120° lần lượt là các điểm C, A, B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép quay bằng cách:
Phép quay tâm O, góc 900: Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\)
Từ đó xác định ảnh của (C)
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của I qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°. Suy ra I'(– 3; 4).
Vậy ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là đường tròn (C') có tâm I'(– 3; 4), bán kính R' = 2.
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Phương pháp giải:
- Nếu tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.
Kí hiệu: (Oa, Ob).
- Xác định điểm M' thỏa mãn điều kiện: OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90°
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Nối O với M;
- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM, trên đường thẳng, lấy điểm M' theo chiều dương sao cho OM' = OM.
Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
a) Các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay 90° được xác định như hình vẽ trên.
b) Nhận thấy ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A' và C'.
Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.
a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?
b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
Xét 2 tam giác OM'N' và OMN bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Từ đó so sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Lời giải chi tiết:
a) Vì M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \) nên \(OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OM',{\rm{ }}ON{\rm{ }} = {\rm{ }}ON'.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {MON} + \widehat {NOM'} = \widehat {MOM'} = \varphi \\\widehat {NOM'} + \widehat {M'ON'} = \widehat {NON'} = \varphi \end{array}\)
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\)
Xét hai tam giác OM'N' và OMN ta có:
OM = OM' (cmt)
\(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\) cmt)
ON = ON' (cmt)
Do đó, hai tam giác OM'N' và OMN bằng nhau (c – g – c).
b) Từ \(\Delta OM'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OMN\), suy ra M'N' = MN (hai cạnh tương ứng).
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).
Phương pháp giải:
- Nếu tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.
Kí hiệu: (Oa, Ob).
- Xác định điểm M' thỏa mãn điều kiện: OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90°
Lời giải chi tiết:
Cách xác định:
- Nối O với M;
- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM, trên đường thẳng, lấy điểm M' theo chiều dương sao cho OM' = OM.
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
Ta có tam giác ABC đều có O là trọng tâm nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 120^\circ \) và \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OC\). Vì phép quay với góc quay – 120° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay – 120° lần lượt là các điểm C, A, B.
Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.
a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?
b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Phương pháp giải:
Xét 2 tam giác OM'N' và OMN bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Từ đó so sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.
Lời giải chi tiết:
a) Vì M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \) nên \(OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OM',{\rm{ }}ON{\rm{ }} = {\rm{ }}ON'.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {MON} + \widehat {NOM'} = \widehat {MOM'} = \varphi \\\widehat {NOM'} + \widehat {M'ON'} = \widehat {NON'} = \varphi \end{array}\)
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\)
Xét hai tam giác OM'N' và OMN ta có:
OM = OM' (cmt)
\(\widehat {MON} = \widehat {M'ON'}\) cmt)
ON = ON' (cmt)
Do đó, hai tam giác OM'N' và OMN bằng nhau (c – g – c).
b) Từ \(\Delta OM'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta OMN\), suy ra M'N' = MN (hai cạnh tương ứng).
Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).
a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.
b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.
Phương pháp giải:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết:
a) Các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay 90° được xác định như hình vẽ trên.
b) Nhận thấy ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A' và C'.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép quay bằng cách:
Phép quay tâm O, góc 900: Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\)
Từ đó xác định ảnh của (C)
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của I qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°. Suy ra I'(– 3; 4).
Vậy ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là đường tròn (C') có tâm I'(– 3; 4), bán kính R' = 2.
Mục 5 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều tập trung vào các kiến thức về vectơ trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong giải quyết các bài toán hình học không gian.
Các bài tập trên trang 17 thường xoay quanh việc xác định vectơ, biểu diễn vectơ, và thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa của vectơ, các quy tắc cộng, trừ vectơ, và cách biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ.
Trang 18 tiếp tục củng cố kiến thức về phép toán vectơ, đồng thời giới thiệu các khái niệm về tích của một số với vectơ và tính chất của tích này. Các bài tập trên trang này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến tích của một số với vectơ.
Các bài tập trên trang 19 tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học không gian đơn giản. Học sinh cần sử dụng các công cụ vectơ để chứng minh các tính chất hình học, tìm mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng trong không gian.
Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng, hoặc chứng minh rằng hai đường thẳng song song.
Trang 20 là phần tổng hợp và nâng cao kiến thức về vectơ trong không gian. Các bài tập trên trang này thường có tính chất phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và có khả năng tư duy logic.
Một số bài tập có thể yêu cầu tìm tọa độ của một điểm trong không gian, hoặc tính độ dài của một đoạn thẳng.
Để giải quyết các bài tập về vectơ trong không gian một cách hiệu quả, học sinh cần:
Học toán không chỉ là việc học thuộc công thức mà còn là việc hiểu bản chất của vấn đề. Hãy dành thời gian suy nghĩ và tìm tòi để hiểu rõ các khái niệm và tính chất của vectơ. Đừng ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| a + b = b + a | Tính giao hoán của phép cộng vectơ |
| a + (b + c) = (a + b) + c | Tính kết hợp của phép cộng vectơ |
| k(a + b) = ka + kb | Tính chất phân phối của tích với tổng vectơ |
