Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28 trong Vở thực hành Toán 9 Tập 2 Chương IX tập trung vào việc nghiên cứu hai loại đường tròn quan trọng liên quan đến tam giác: đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Việc hiểu rõ về hai loại đường tròn này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, thường được ký hiệu là O. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác được gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp, thường được ký hiệu là R.

Cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp: Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tam giác.
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = abc / (4S), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của tam giác.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là tâm đường tròn nội tiếp, thường được ký hiệu là I. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là bán kính đường tròn nội tiếp, thường được ký hiệu là r.

Cách tìm tâm đường tròn nội tiếp: Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác của các góc của tam giác.
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp: r = 2S / (a + b + c), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác và S là diện tích của tam giác.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Có một số mối quan hệ quan trọng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Một trong số đó là bất đẳng thức Euler, khẳng định rằng:

OI² = R(R - 2r)

Trong đó OI là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

4. Ứng dụng của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp trong giải toán

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến tam giác. Chúng giúp chúng ta tìm ra các mối quan hệ giữa các góc, các cạnh và các đường cao của tam giác. Ví dụ:

Sử dụng đường tròn ngoại tiếp để tính góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
Sử dụng đường tròn nội tiếp để tính diện tích tam giác, độ dài các đoạn thẳng liên quan đến tiếp điểm.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải:

Tính BC: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BC / 2 = 5 / 2 = 2.5cm
Tính bán kính đường tròn nội tiếp: r = (AB + AC - BC) / 2 = (3 + 4 - 5) / 2 = 1cm

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải:

Tính nửa chu vi: p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 7 + 8) / 2 = 10cm
Tính diện tích: S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)) = √(10(10 - 5)(10 - 7)(10 - 8)) = √(10 * 5 * 3 * 2) = √300 = 10√3 cm²
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = abc / (4S) = (5 * 7 * 8) / (4 * 10√3) = 280 / (40√3) = 7 / √3 = (7√3) / 3 cm
Tính bán kính đường tròn nội tiếp: r = 2S / (a + b + c) = (2 * 10√3) / (5 + 7 + 8) = 20√3 / 20 = √3 cm

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chúc các em học tập tốt!