Bài 4. Phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm O với tâm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'. Ký hiệu: Đ_O(M) = M'.

Nói cách khác, để tìm ảnh của một điểm M qua phép đối xứng tâm O, ta chỉ cần vẽ đường thẳng MO và kéo dài MO một đoạn bằng MO về phía O. Điểm cuối của đoạn thẳng kéo dài đó chính là ảnh M' của điểm M.

2. Tính chất của phép đối xứng tâm

• Bảo toàn khoảng cách: Với hai điểm bất kỳ M và N, ta có: M'N' = MN.
• Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng MN và M'N' bằng góc giữa hai đường thẳng MN và M'N'.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song: Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d' song song với d.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính: Phép đối xứng tâm biến một đường tròn (C) thành một đường tròn (C') có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu O(x₀, y₀) là tâm đối xứng và M(x, y) là một điểm bất kỳ, thì tọa độ của điểm M'(x', y') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O được tính bằng công thức:

x' = 2x₀ - x

y' = 2y₀ - y

4. Ứng dụng của phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, vật lý và kỹ thuật. Một số ứng dụng tiêu biểu bao gồm:

• Trong hình học: Chứng minh tính đối xứng của một hình, tìm tâm đối xứng của một hình.
• Trong vật lý: Mô tả các hiện tượng đối xứng trong tự nhiên, ví dụ như đối xứng của các phân tử.
• Trong kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc đối xứng, ví dụ như cầu, tòa nhà.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và tâm đối xứng O(0, 0). Tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta có:

x' = 2x₀ - x = 2(0) - 1 = -1

y' = 2y₀ - y = 2(0) - 2 = -2

Vậy, A'(-1, -2).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và tâm đối xứng O(0, 0). Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

Vì d' song song với d, nên phương trình của d' có dạng: x + y + c = 0.

Lấy một điểm M(1, 0) thuộc d. Ảnh của M qua phép đối xứng tâm O là M'(-1, 0).

Thay tọa độ M' vào phương trình d', ta có: -1 + 0 + c = 0 => c = 1.

Vậy, phương trình của d' là: x + y + 1 = 0.

6. Luyện tập

1. Tìm ảnh của điểm B(-2, 3) qua phép đối xứng tâm C(1, -1).
2. Tìm phương trình của đường tròn (x - 2)² + (y + 3)² = 4 qua phép đối xứng tâm O(0, 0).
3. Chứng minh rằng hai tam giác đối xứng qua một điểm có diện tích bằng nhau.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép đối xứng tâm. Chúc bạn học tập tốt!