Bài 5. Tích của một số với một vectơ

Bài 5. Tích của một số với một vectơ - SBT Toán 10 - Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 5 trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều tập trung vào việc hiểu và vận dụng khái niệm tích của một số với một vectơ. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học về vectơ, giúp học sinh làm quen với các phép toán vectơ cơ bản và ứng dụng của chúng trong hình học.

I. Khái niệm cơ bản về tích của một số với một vectơ

Tích của một số thực k với một vectơ a, ký hiệu là ka, là một vectơ có:

• Hướng:
  • Nếu k > 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a.
  • Nếu k < 0 thì vectơ ka ngược hướng với vectơ a.
  • Nếu k = 0 thì ka là vectơ không 0.
• Độ dài: |ka| = |k| . |a|

Nói cách khác, tích của một số với một vectơ làm thay đổi độ dài của vectơ đó và có thể thay đổi hướng của nó.

II. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số thực

Phép nhân vectơ với một số thực tuân theo các tính chất sau:

1. Tính kết hợp: (m.n)a = m(na)
2. Tính phân phối đối với phép cộng vectơ:k(a + b) = ka + kb
3. Tính phân phối đối với phép cộng số thực: (k + l)a = ka + la
4. Tính chất đơn vị: 1.a = a

Những tính chất này giúp đơn giản hóa các biểu thức vectơ và giải quyết các bài toán phức tạp.

III. Bài tập minh họa và giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều nhau. Biết |a| = 3 và |b| = 5. Tính độ dài của vectơ 2a - 3b.

Giải: Vì a và b cùng phương, ngược chiều nhau nên b = -ka với k > 0. Từ |a| = 3 và |b| = 5, ta có 5 = |b| = |-ka| = |k| . |a| = k . 3. Suy ra k = 5/3. Vậy b = -(5/3)a.

Do đó, 2a - 3b = 2a - 3(-(5/3)a) = 2a + 5a = 7a.

Suy ra |2a - 3b| = |7a| = 7 . |a| = 7 . 3 = 21.

IV. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về tích của một số với một vectơ, bạn nên tự giải thêm các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản và áp dụng các tính chất một cách linh hoạt.

Chúc bạn học tập tốt!