Bài 54 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 54, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \). Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và chứng minh ba điểm M, N,
Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \). Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \)
Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {NP} \) chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C, P nằm giữa A và D
a) Ta có:
+ \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \). Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
+ \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} \)mà \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow a \)
nên \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow a = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} \) mà \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\), \(\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
nên \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow b - \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \)
Vậy \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\); \(\overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {NP} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \)
b) Theo a, \(\overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b \); \(\overrightarrow {NP} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b = \frac{3}{2}\left( { - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {NP} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NP} \) cùng phương. Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 54 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Bài 54 thường yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 54, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết như sau:
(Giả sử bài 54 có nội dung cụ thể về một hình học nào đó, ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng: overrightarrow{OA} +overrightarrow{OC} =overrightarrow{0})
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.
Do đó,overrightarrow{OA} = -overrightarrow{OC}.
Suy ra,overrightarrow{OA} +overrightarrow{OC} =overrightarrow{0}.
Ngoài bài 54, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Để giải các bài tập này, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, các em nên luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài 54 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập mà chúng tôi cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 10.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức Toán học. Chúc các em học tập tốt!
