Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 32 trang 74 trong sách bài tập Toán 10 - Cánh Diều. Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác và hữu ích để hỗ trợ bạn trong quá trình học tập.
Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0
Đề bài
Cho ba điểm A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ; – 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B
b*) Tìm toạ độ điểm N thuộc ∆ sao cho |\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} \)| có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tổng quát ∆
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập PT AM = BM
Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M
Bước 4: Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
Bước 5: Biến đổi và tìm GTNN của biểu thức |\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} \)| để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M(t;4 - 2t) \in \Delta \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (t + 2; - 2t + 2)\), \(\overrightarrow {BM} = (t - 7; - 2t - 1)\)
Theo giả thiết, M cách đều hai điểm A và B \( \Rightarrow AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2}\)
\( \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {( - 2t + 2)^2} = {(t - 7)^2} + {( - 2t - 1)^2}\)
\( \Leftrightarrow - 4t + 8 = - 10t + 50 \Leftrightarrow 6t = 42 \Leftrightarrow t = 7\)
Vậy M(7 ; -10)
b*) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (9;3),\overrightarrow {AC} = (6; - 7)\)
Vì \(\frac{9}{6} \ne \frac{3}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương \( \Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng
Gọi G là trọng tâm ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {3;\frac{2}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Xét \(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {NG} } \right| = 3NG\)
\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi NG nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) N là hình chiếu của G trên ∆
Gọi d là đường thẳng đi qua G, vuông góc với ∆
∆ có VTPT \(\overrightarrow n = (2;1)\) \( \Rightarrow \) ∆ có một VTCP là \(\overrightarrow u = (1; - 2)\)
Do \(d \bot \Delta \) nên d nhận \(\overrightarrow u = (1; - 2)\)làm VTPT \( \Rightarrow \) d có PT: 3x – 6y – 5 = 0
N là giao điểm của d và ∆ \( \Rightarrow \) tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\3x - 6y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{{15}}\\y = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)
Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh hiểu rõ các khái niệm như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất liên quan. Việc nắm vững kiến thức nền tảng là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Bài 32 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 32, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng dạng bài tập cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.
Lời giải:
Ta có: AM = AB + BM. Vì M là trung điểm của BC nên BM = 1/2 BC. Do đó, AM = AB + 1/2 BC. Mà BC = AC - AB. Vậy AM = AB + 1/2 (AC - AB) = 1/2 AB + 1/2 AC.
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AB = DC và AD = BC.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song và bằng DC, AD song song và bằng BC. Do đó, AB = DC và AD = BC (đpcm).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Chứng minh rằng AH2 = BH.HC.
Lời giải:
Ta có: AH ⊥ BC. Xét tam giác AHB và AHC, ta có: ∠AHB = ∠AHC = 90o. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AHB và AHC, ta có: AH2 + BH2 = AB2 và AH2 + HC2 = AC2. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC, ta có: AB2 + AC2 = BC2. Từ đó suy ra: AH2 = BH.HC.
Để nâng cao kiến thức về vectơ, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập vectơ hiệu quả, bạn đã có thể tự tin giải bài 32 trang 74 SBT Toán 10 - Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
