Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong sách bài tập (SBT) Toán 10 Cánh diều. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 76 trang 107 SBT Toán 10 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là đối với những học sinh mới làm quen với chương trình Toán 10. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chi tiết, rõ ràng và dễ tiếp thu nhất.
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC}\) = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh \(AM \bot BD\)
Đề bài
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC}\) = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh \(AM \bot BD\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Bước 2: Sử dụng tích chất trung điểm của đoạn thẳng và tách các vectơ rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)
Bước 3: Chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)rồi kết luận
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.5.\cos {120^0} = - 10\)
b) Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\); \(AD = \frac{2}{5}AC = 2\)
Xét \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
\( = \frac{1}{2}AB.AD.\cos \widehat {BAD} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{1}{2}.\frac{2}{5}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = \frac{1}{2}.4.2.\cos {120^0} - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}{.5^2} - \frac{1}{2}.( - 10) = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow AM \bot BD\)
Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng.
Thông thường, bài 76 sẽ đưa ra một hình vẽ hoặc một mô tả về các điểm và vectơ trong mặt phẳng. Yêu cầu của bài toán có thể là:
Để giải bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:
Giả sử bài toán như sau: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;4), C(-1;0). Tìm tọa độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Lời giải:
Để ABCD là hình bình hành, ta cần có AB = DC và AD = BC. Từ đó suy ra vectơ AB = vectơ DC và vectơ AD = vectơ BC.
Tính vectơ AB: AB = (3-1; 4-2) = (2; 2)
Giả sử D(x; y). Khi đó vectơ DC = (x - (-1); y - 0) = (x + 1; y)
Vì vectơ AB = vectơ DC, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình, ta được x = 1 và y = 2. Vậy D(1; 2).
Ngoài bài toán tìm tọa độ điểm, bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học phẳng. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
