Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 10. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} \)
Đề bài
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} \)
với k là số thực. Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {EN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \) và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Xác định vị trí các điểm D, E, M, N trên các cạnh AB, AC, BC, AM
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DE} \) chứng minh D, E, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM
a) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \); \(\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{k}{3}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AE} = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) - \frac{2}{5}\overrightarrow b = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b \)
b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DE} \) \( \Leftrightarrow \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{{5k - 6}}{{15}}\overrightarrow b = t\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} = - \frac{t}{3}\\\frac{{5k - 6}}{{15}} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}k + \frac{1}{3}t = 0\\\frac{1}{3}k - \frac{2}{5}t = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t = - \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.\)
Vậy với \(k = \frac{6}{{17}}\) thì D, E, N thẳng hàng.
Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ trong hình học phẳng. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các vectơ, thực hiện các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số), và sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh các đẳng thức hoặc giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các điểm.
Bài tập 55 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
Để giải bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho một số dạng bài tập thường gặp trong bài 55:
Cho tam giác ABC. Xác định các vectơ:
Cho hai vectơ a và b. Tính a + b và a - b.
Để tính tổng hai vectơ, ta sử dụng quy tắc hình bình hành. Để tính hiệu hai vectơ, ta cộng vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai.
Chứng minh rằng AB + BC = AC.
Ta có thể chứng minh đẳng thức này bằng cách sử dụng quy tắc cộng vectơ. Vectơ AB + BC là tổng của hai vectơ liên tiếp, và kết quả là vectơ AC.
Ngoài sách bài tập Toán 10 Cánh Diều, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ giải quyết thành công bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Cánh Diều và nắm vững kiến thức về vectơ trong hình học phẳng. Chúc bạn học tốt!
