Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng - SBT Toán 10 Cánh Diều

Bài 4 trong sách bài tập Toán 10 Cánh Diều tập trung vào một trong những chủ đề quan trọng của hình học tọa độ: xác định mối quan hệ giữa các đường thẳng và tính toán các yếu tố liên quan đến vị trí của chúng.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng có thể song song, vuông góc, cắt nhau nhưng không vuông góc hoặc trùng nhau.
Điều kiện song song: Đường thẳng d1: ax + by + c1 = 0 và d2: ax + by + c2 = 0 song song khi và chỉ khi a/a' = b/b' ≠ c/c'.
Điều kiện vuông góc: Đường thẳng d1: ax + by + c1 = 0 và d2: a'x + b'y + c2 = 0 vuông góc khi và chỉ khi aa' + bb' = 0.
Góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng công thức cos(θ) = |(a1a2 + b1b2)| / (√(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2)) để tính góc giữa hai đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách d từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 được tính bằng công thức d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2).

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến chủ đề này, bạn cần nắm vững các công thức và điều kiện đã nêu trên. Dưới đây là một số phương pháp thường được sử dụng:

Xác định hệ số a, b, c của các đường thẳng: Đưa các phương trình đường thẳng về dạng tổng quát ax + by + c = 0.
Kiểm tra điều kiện song song hoặc vuông góc: Sử dụng các điều kiện đã nêu để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng: Áp dụng công thức tính góc và lưu ý rằng góc giữa hai đường thẳng có thể là góc nhọn hoặc góc tù.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Thay tọa độ điểm vào công thức tính khoảng cách.

III. Ví dụ minh họa và lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: 2x - y + 1 = 0 và d2: x + 2y - 3 = 0. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này.

Lời giải: Ta có a1 = 2, b1 = -1, c1 = 1 và a2 = 1, b2 = 2, c2 = -3. Kiểm tra điều kiện song song: 2/1 ≠ -1/2. Kiểm tra điều kiện vuông góc: 2*1 + (-1)*2 = 0. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d1: x - √3y + 2 = 0 và d2: x + y - 1 = 0.

Lời giải: Ta có a1 = 1, b1 = -√3, a2 = 1, b2 = 1. Áp dụng công thức tính góc: cos(θ) = |(1*1 + (-√3)*1)| / (√(1^2 + (-√3)^2) * √(1^2 + 1^2)) = |1 - √3| / (2 * √2) ≈ 0.2588. Suy ra θ ≈ 75°.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2) đến đường thẳng Δ: 3x - 4y + 5 = 0.

Lời giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách: d = |3*1 - 4*2 + 5| / √(3^2 + (-4)^2) = |3 - 8 + 5| / √(9 + 16) = 0 / 5 = 0. Vậy điểm A nằm trên đường thẳng Δ.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x + 2y - 3 = 0 và d2: 2x - y + 1 = 0.
Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d1: 3x + 4y - 5 = 0 và d2: 4x - 3y + 2 = 0.
Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm B(-1, 1) đến đường thẳng Δ: x - y + 2 = 0.

V. Kết luận

Bài 4 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về vị trí tương đối của hai đường thẳng, góc giữa chúng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học tọa độ một cách hiệu quả và chính xác.