Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong sách bài tập (SBT) Toán 10 Cánh diều. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 75 trang 107 SBT Toán 10 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy logic và áp dụng kiến thức đã học. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chi tiết, rõ ràng, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán.
Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \). Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:
Đề bài
Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \). Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:
\(\overrightarrow {OI} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} \) (*)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tách các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và kết hợp giả thiết để biến đổi vế phải (*)
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \)
Xét vế phải (*) ta có:
VT = \(\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)
\( = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI} + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI} + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \)
\( = \overrightarrow {OI} + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {OI} + \left( {\frac{k}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \overrightarrow {OI} \) (ĐPCM)
Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài toán này yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của chúng.
Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều thường có dạng như sau: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng: a) BN = 2ND b) MN = 1/3 AM
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ. Dưới đây là các bước giải chi tiết:
Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, và trục Oy trùng với cạnh AD. Đặt tọa độ các điểm như sau:
Lưu ý: a và b là độ dài các cạnh của hình bình hành.
Tìm các vectơ cần thiết để giải bài toán:
Điểm N là giao điểm của AM và BD, nên N thuộc cả hai đường thẳng AM và BD. Do đó, ta có thể viết:
Vì N thuộc BD, nên AN = AB + BN. Thay các vectơ đã tìm được, ta có:
(ta; tb/2) = (a; 0) + (-sa; sb) = (a - sa; sb)
Từ đó, ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này, ta tìm được t = 2/3 và s = 1/3.
Vậy, tọa độ điểm N là: N = (2a/3; b/3)
Ta có:
Dễ thấy BN = 2ND (vì ND = 1/2 BN)
Ta có:
Dễ thấy MN = -1/3 AM. Do đó, MN = 1/3 AM (về độ dài)
Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng vào giải toán hình học, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
