Đề cương ôn tập học kì 2 Toán 6 - Cánh diều

A. NỘI DUNG ÔN TẬP

Số học

1. Phân số

- Phân số với tử và mẫu là số nguyên

- So sánh các phân số. Hỗn số dương

- Phép cộng và phép trừ phân số

- Phép nhân và phép chia phân số

- Hai bài toán về phân số

2. Số thập phân

- Số thập phân

- Phép cộng và phép trừ số thập phân

- Phép nhân, phép chia số thập phân

- Ước lượng và làm tròn số

- Tỉ số. Tỉ số phần trăm

Hình học

- Điểm. Đường thẳng

- Hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song

- Đoạn thẳng

- Tia

- Góc

B. BÀI TẬP

Đề bài

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Nghịch đảo của \(\frac{{ - 6}}{{11}}\) là:

A. \(\frac{{11}}{{ - 6}}\).

B. \(\frac{6}{{11}}\).

C. \(\frac{{ - 6}}{{ - 11}}\).

D. \(\frac{{ - 11}}{{ - 6}}\).

Câu 2: Rút gọn phân số \(\frac{{ - 27}}{{63}}\) đến tối giản bằng

A. \(\frac{9}{{21}}\).

B. \(\frac{{ - 9}}{{21}}\).

C. \(\frac{3}{7}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{7}\).

Câu 3: Viết số thập phân 0,25 về dạng phân số ta được:

A. \(\frac{1}{4}\).

B. \(\frac{5}{2}\).

C. \(\frac{2}{5}\).

D. \(\frac{1}{4}\).

Câu 4: Viết hỗn số 3\(\frac{1}{5}\) dưới dạng phân số

A. \(\frac{3}{5}\).

B. \(\frac{{16}}{5}\).

C. \(\frac{8}{5}\).

D. \(\frac{3}{3}\).

Câu 5: Kết quả của phép tính: \(\frac{9}{{10}} - \left( {\frac{9}{{10}} - \frac{1}{{10}}} \right)\)=

A. \(\frac{{ - 1}}{{10}}\).

B. \(\frac{1}{{10}}\).

C. \(\frac{9}{{10}}\).

D. \(\frac{{ - 9}}{{10}}\).

Câu 6: Tính 25% của 12 bằng

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Câu 7: Có bao nhiêu phút trong \(\frac{7}{{15}}\) giờ?

A. 28 phút.

B. 11 phút.

C. 4 phút.

D. 60 phút.

Câu 8: Kết quả của phép tính \(\frac{{ - 1}}{5} \cdot \frac{{25}}{8} = \)

A. \(\frac{{ - 5}}{8}\).

B. \(\frac{{ - 1}}{8}\).

C. \(\frac{{25}}{8}\).

D. \(\frac{{ - 1}}{{25}}\).

Câu 9: Kết quả của phép tính \(\frac{{ - 1}}{{13}}:\frac{7}{{ - 13}} = \)

A. \(\frac{{ - 7}}{{169}}\).

B. \(\frac{1}{7}\).

C. \(\frac{7}{{169}}\).

D. \(\frac{{ - 1}}{7}\).

Câu 10: Tích 214,9 . 1,09 là

A. 234,241.

B. 209,241.

C. 231,124.

D. -234,241.

Câu 11: Làm tròn số a = 131,2956 đến chữ số thập phân thứ hai ta được số thập phân nào sau đây:

A. 131,29.

B. 131,31.

C. 131,30.

D. 130.

Câu 12: Số đối của phân số \(\frac{{ - 2}}{3}\) là số.

A. \(\frac{{ - 2}}{3}\).

B. \(\frac{2}{3}\).

C. \(\frac{3}{2}\).

D. \(\frac{2}{{ - 3}}\).

Câu 13: So sánh hai số thập phân 2,56 và 2,57 ta được kết quả

A. \({\rm{2,56}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{2,57}}\).

B. \({\rm{2,56}}\, < \,{\rm{2,57}}\).

C. \({\rm{2,57}}\, \le \,{\rm{2,56}}\,\).

D. \({\rm{2,56}}\, = {\rm{2,57}}\).

Câu 14: Tỉ số của hai số - 2 và 5 là:

A. \(\frac{5}{{ - 2}}\).

B. \(\frac{{ - 5}}{2}\).

C. \(\frac{2}{5}\).

D. \(\frac{{ - 2}}{5}\).

Câu 15: Tỉ số phần trăm của 3 và 2 được viết là:

A. \(\frac{2}{3}.100\% \).

B. \(\frac{3}{2}\% \).

C. \(\frac{3}{2}.100\).

D. \(\frac{3}{2}.100\% \).

Câu 16: Cho \(\widehat {{\rm{xOy}}}\,{\rm{ = 3}}{{\rm{0}}^0}\) và \(\widehat {{\rm{mOn}}}\,{\rm{ = 5}}{{\rm{0}}^0}\,\). Kết so sánh nào sau đúng?

A. \(\widehat {{\rm{xOy}}}\,\, > \widehat {{\rm{mOn}}}\,\).

B. \(\widehat {{\rm{xOy}}}\,\, \ge \widehat {{\rm{mOn}}}\,\).

C. \(\widehat {{\rm{xOy}}}\,\, = \widehat {{\rm{mOn}}}\,\).

D. \(\widehat {{\rm{xOy}}}\,\, < \widehat {{\rm{mOn}}}\).

Câu 17: Góc có số đo lớn hơn 0⁰ và nhỏ hơn 90⁰ là góc gì?

A. Góc vuông.

B. Góc nhọn.

C. Góc tù.

D. Góc bẹt.

Câu 18: Cho đoạn thẳng AB = 10 cm, C là điểm nằm giữa A, B. Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của CB. Tính MN.

A. MN = 20 cm.

B. MN = 5 cm.

C. MN = 8 cm.

D. MN = 10 cm.

Câu 19: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB nếu:

A. MA = MB.

B. M nằm giữa A và B.

C. \(MA = MB = \frac{{AB}}{2}\).

D. AM + MB = AB.

Câu 20: Cho \(\widehat {ABC} = {45^0}\) và \(\widehat {MON}\) = \(\widehat {ABC}\). Khi đó số đo góc MON bằng

A. \({30^0}\).

B. \({40^0}\).

C. \({45^0}\).

D. \({50^0}\).

Câu 21: Cho điểm E thuộc đoạn thẳng IK. Biết \(IE = 4cm,EK = 10cm.\) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

A. 4 cm.

B. 7 cm.

C. 6 cm.

D. 14 cm.

Câu 22: Lúc 9 giờ thì kim phút và kim giờ của đồng hồ tạo thành góc gì?

A. góc nhọn.

B. góc tù.

C. góc vuông.

D. góc bẹt.

Câu 23: Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước là:

A. vô số.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 24: Trong các hình vẽ sau hình nào có I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 25. Khẳng định đúng là

A. Góc có số đo \({89^o}\) là góc vuông.

B. Góc có số đo \(80^\circ \) là góc tù.

C. Góc có số đo \(100^\circ \) là góc nhọn.

D. Góc có số đo \(140^\circ \) là góc tù.

Câu 26: Trong các góc sau, góc nào là góc bẹt?

Câu 27: Góc có hai cạnh là MN, MI là

A. INM.

B. MIN.

C. NMI.

D. N.

Câu 28: Trong hình vẽ sau có bao nhiêu góc

A. 2 góc.

B. 3 góc.

C. 4 góc.

D. 5 góc.

Câu 29: Cho hình vẽ sau, đoạn thẳng CD trong hình bên có độ dài là:

A. 3mm.

B. 4cm.

C. 3cm.

D. 4m.

Câu 30: Cho hình vẽ sau, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm \(E \in a\).

B. Điểm \(B \notin a\).

C. Điểm \(B \in a\).

D. Ba điểm B, E, a thẳng hàng.

II. Phần tự luận

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{8}{5} - \frac{7}{5}\).

b) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2} + 3\).

c) \(\frac{2}{3}.\frac{7}{5} + \frac{2}{3}.\frac{{ - 2}}{5}\).

d) \(\frac{{ - 2}}{{11}} + \frac{3}{5} + \frac{{ - 9}}{{11}} + 2022 + \frac{2}{5}\).

e) \(\frac{{ - 7}}{9}.\frac{3}{{11}} + \frac{{ - 7}}{9}.\frac{8}{{11}} + \frac{{16}}{9}\).

f) \(\frac{2}{5}\,\, - \,30\% \,\, + \,\,0,\,6\).

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(x - \frac{1}{3} = \frac{{ - 2}}{4}\)

b) \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{1}{5}\)

c) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2}(x - 1) = \frac{1}{3}\)

d) \(\frac{{13}}{5}x - \frac{1}{3} = \frac{3}{4}\)

e) \(3,4 - 3x = 5,8\)

f) \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

Bài 3. Ba bác Đông, Nam, Bắc góp vốn đầu tư mua máy cày hết 24 triệu đồng. Sau khi góp số tiền của bác Đông, Nam lần lượt bằng \(\frac{1}{3}\) và \(25\% \) tổng số tiền thu được. Tính số tiền của mỗi người đã góp.

Bài 4. Lúc 6 giờ sáng thời tiết ở Đồng Văn (Hà Giang) là \( - 0,{8^{\,\,0}}C\), đến 11 giờ trưa nhiệt độ tăng lên được \(0,{5^{\,\,0}}C\) so với lúc 6 giờ sáng. Hỏi nhiệt độ ở Đồng Văn (Hà Giang) lúc 11 giờ trưa là bao nhiêu?

Bài 5. Bạn An đọc một quyển sách có 120 trang trong ba ngày thì xong. Ngày thứ nhất bạn An đọc được \(\frac{1}{3}\) tổng số trang và bằng \(\frac{2}{3}\) ngày thứ hai. Hỏi mỗi ngày bạn An đọc được bao nhiêu trang sách?

Bài 6. Bác nông dân có một mảnh vườn hình chữ nhật. Bác dùng \(80\% \) diện tích mảnh vườn để trồng cây ăn quả. Biết diện tích trồng cây ăn quả là \(460\,{m^2}\). Hỏi diện tích mảnh vườn là bao nhiêu \({m^2}\)?

Bài 7. Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm: \(12,057;\,\,40,1534\).

Bài 8. Cho điểm A nằm giữa hai điểm O và B sao cho \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{cm}};{\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}6{\rm{cm}}.\)

a) Tính độ dài đoạn thẳng\(AB\)?

b) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?

Bài 9. Cho hai tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) đối nhau. Trên tia \({\rm{Ox}}\) lấy điểm \({\rm{A}}\) sao cho \({\rm{OA}} = 4\;{\rm{cm}}\). Trên tia \({\rm{Oy}}\) lấy điểm \({\rm{B}}\) sao cho \({\rm{OB}} = 2\;{\rm{cm}}\). Gọi \({\rm{C}}\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{OA}}\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \({\rm{AB}}\).

b) Điểm \({\rm{O}}\) có là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{BC}}\) không? Vì sao?

c) Vẽ tia \({\rm{Oz}}\) khác các tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\). Viết tên các góc có trong hình vẽ.

Bài 10. 1. Cho đoạn thẳng có độ dài AB = 9cm, điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 3cm. Điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho \(CD = \frac{1}{2}DB\).

a) Vẽ hình.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng CB, CD và AD.

2. Cho các hình vẽ.

Trong các góc ở hình vẽ trên, góc nào là góc nhọn, góc tù, góc vuông, góc bẹt?

Bài 11*. So sánh S với 2, biết \(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\).

Bài 12*. Cho S = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}\) và P = \(\frac{1}{{49}} + \frac{2}{{48}} + \frac{3}{{47}} + ... + \frac{{48}}{2} + \frac{{49}}{1}\). Tính \(\frac{S}{P}\).

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

I. Phần trắc nghiệm

II. Phần tự luận

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{8}{5} - \frac{7}{5}\).

b) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2} + 3\).

c) \(\frac{2}{3}.\frac{7}{5} + \frac{2}{3}.\frac{{ - 2}}{5}\).

d) \(\frac{{ - 2}}{{11}} + \frac{3}{5} + \frac{{ - 9}}{{11}} + 2022 + \frac{2}{5}\).

e) \(\frac{{ - 7}}{9}.\frac{3}{{11}} + \frac{{ - 7}}{9}.\frac{8}{{11}} + \frac{{16}}{9}\).

f) \(\frac{2}{5}\,\, - \,30\% \,\, + \,\,0,\,6\).

Phương pháp

Áp dụng các quy tắc tính với phân số, số thập phân, phần trăm.

Lời giải

a) \(\frac{8}{5} - \frac{7}{5} = \frac{{8 - 7}}{5} = \frac{1}{5}\).

b) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2} + 3 = \frac{{5 - 3}}{2} + 3 = \frac{2}{2} + 3 = 1 + 3 = 4\).

c) \(\frac{2}{3}.\frac{7}{5} + \frac{2}{3}.\frac{{ - 2}}{5} = \frac{2}{3}\left( {\frac{7}{5} - \frac{2}{5}} \right) = \frac{2}{3}.\frac{5}{5} = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\).

d) \(\frac{{ - 2}}{{11}} + \frac{3}{5} + \frac{{ - 9}}{{11}} + 2022 + \frac{2}{5} = \left( {\frac{{ - 2}}{{11}} + \frac{{ - 9}}{{11}}} \right) + \left( {\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} \right) + 2022 = - 1 + 1 + 2022 = 2022\).

e) \(\frac{{ - 7}}{9}.\frac{3}{{11}} + \frac{{ - 7}}{9}.\frac{8}{{11}} + \frac{{16}}{9} = \frac{{ - 7}}{9}.\left( {\frac{3}{{11}} + \frac{8}{{11}}} \right) + \frac{{16}}{9} = \frac{{ - 7}}{9}.1 + \frac{{16}}{9} = \frac{{ - 7}}{9} + \frac{{16}}{9} = \frac{9}{9} = 1\).

f) \(\frac{2}{5}\,\, - \,30\% \,\, + \,\,0,\,6 = \frac{2}{5} - \frac{3}{{10}} + \frac{3}{5} = \left( {\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} \right) - \frac{3}{{10}} = 1 - \frac{3}{{10}} = \frac{7}{{10}}\).

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(x - \frac{1}{3} = \frac{{ - 2}}{4}\)

b) \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{1}{5}\)

c) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2}(x - 1) = \frac{1}{3}\)

d) \(\frac{{13}}{5}x - \frac{1}{3} = \frac{3}{4}\)

e) \(3,4 - 3x = 5,8\)

f) \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

Phương pháp

Áp dụng các quy tắc tính với phân số và số thập phân, quy tắc chuyển vế để tìm x.

Lời giải

a) \(x - \frac{1}{3} = \frac{{ - 2}}{4}\)

\(\begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{4} + \frac{1}{3}\\x = \frac{{ - 6}}{{12}} + \frac{4}{{12}}\\x = \frac{{ - 2}}{{12}} = \frac{{ - 1}}{6}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 1}}{6}\)

b) \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{1}{5}\)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 10}}{{15}} + \frac{3}{{15}}\\\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 7}}{{15}}\\x = - 7\end{array}\)

Vậy x = -7

c) \(\frac{5}{2} - \frac{3}{2}(x - 1) = \frac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l}\frac{5}{2} - \frac{{3x}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3}\\\left( {\frac{5}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \frac{{3x}}{2} = \frac{1}{3}\\4 - \frac{{3x}}{2} = \frac{1}{3}\\\frac{{3x}}{2} = 4 - \frac{1}{3}\\\frac{{3x}}{2} = \frac{{11}}{3}\\3x.3 = 11.2\\9x = 22\\x = \frac{{22}}{9}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{22}}{9}\)

d) \(\frac{{13}}{5}x - \frac{1}{3} = \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{13}}{5}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{3}\\\frac{{13}}{5}x = \frac{9}{{12}} + \frac{4}{{12}}\\\frac{{13}}{5}x = \frac{{13}}{{12}}\\x = \frac{{13}}{{12}}:\frac{{13}}{5}\\x = \frac{{13}}{{12}}.\frac{5}{{13}}\\x = \frac{5}{{12}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{5}{{12}}\)

e) \(3,4 - 3x = 5,8\)

\(\begin{array}{l} - 3x = 5,8 - 3,4\\ - 3x = 2,4\\x = 2,4:\left( { - 3} \right)\\x = - 0,8\end{array}\)

f) \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 8.2\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 16\end{array}\)

\(x - 1 = 4\) hoặc \(x - 1 = - 4\)

\(\begin{array}{l}x = 4 + 1\\x = 5\end{array}\) \(\begin{array}{l}x = - 4 + 1\\x = - 3\end{array}\)

Vậy \(x = 5\) hoặc \(x = - 3\)

Bài 3. Ba bác Đông, Nam, Bắc góp vốn đầu tư mua máy cày hết 24 triệu đồng. Sau khi góp số tiền của bác Đông, Nam lần lượt bằng \(\frac{1}{3}\) và \(25\% \) tổng số tiền thu được. Tính số tiền của mỗi người đã góp.

Phương pháp

Tìm \(\frac{m}{n}\) của a, ta tính \(a.\frac{m}{n}\).

Tìm \(m\% \) của a, ta tính \(a.\frac{m}{{100}}\).

Lời giải

Số tiền bác Đông góp là: \(24.\frac{1}{3} = 8\) (triệu đồng)

Số tiền bác Nam góp là: \(24.\frac{{25}}{{100}} = 6\) (triệu đồng)

Số tiền bác Bắc góp là: \(24 - 8 - 6 = 10\) (triệu đồng)

Vậy số tiền bác Đông, Nam, Bắc góp lần lượt là 8 triệu, 6 triệu, 10 triệu.

Bài 4. Lúc 6 giờ sáng thời tiết ở Đồng Văn (Hà Giang) là \( - 0,{8^{\,\,0}}C\), đến 11 giờ trưa nhiệt độ tăng lên được \(0,{5^{\,\,0}}C\) so với lúc 6 giờ sáng. Hỏi nhiệt độ ở Đồng Văn (Hà Giang) lúc 11 giờ trưa là bao nhiêu?

Phương pháp

Dựa vào quy tắc cộng số nguyên.

Lời giải

Nhiệt độ ở Đồng Văn (Hà Giang) lúc 11 giờ trưa là:

\( - 0,8 + 0,5 = - 0,3\left( {^0C} \right)\)

Vậy nhiệt độ ở Đồng Văn (Hà Giang) lúc 11 giờ trưa là \( - 0,{3^0}C\).

Bài 5. Bạn An đọc một quyển sách có 120 trang trong ba ngày thì xong. Ngày thứ nhất bạn An đọc được \(\frac{1}{3}\) tổng số trang và bằng \(\frac{2}{3}\) ngày thứ hai. Hỏi mỗi ngày bạn An đọc được bao nhiêu trang sách?

Phương pháp

Tìm \(\frac{m}{n}\) của a, ta tính \(a.\frac{m}{n}\).

Tìm a khi biết \(\frac{m}{n}\) của nó là b, ta tính \(a = b:\frac{m}{n}\).

Lời giải

Số trang sách mà bạn An đọc ngày thứ nhất là: \(120.\frac{1}{3} = 40\) (trang)

Số trang sách mà bạn An đọc ngày thứ hai là: \(40:\frac{2}{3} = 60\) (trang)

Số trang sách mà bạn An đọc ngày thứ ba là: \(120 - 40 - 60 = 20\) (trang)

Vậy số trang sách bạn An đọc trong ba ngày lần lượt là 40 trang, 60 trang, 20 trang.

Bài 6. Bác nông dân có một mảnh vườn hình chữ nhật. Bác dùng \(80\% \) diện tích mảnh vườn để trồng cây ăn quả. Biết diện tích trồng cây ăn quả là \(460\,{m^2}\). Hỏi diện tích mảnh vườn là bao nhiêu \({m^2}\)?

Phương pháp

Tìm a khi biết m% của nó là b, ta tính \(a = b:\frac{m}{{100}}\).

Lời giải

Diện tích mảnh vườn là: \(460:\frac{{80}}{{100}} = 575\left( {{m^2}} \right)\).

Bài 7. Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm: \(12,057;\,\,40,1534\).

Phương pháp

Dựa vào quy tắc làm tròn số.

Lời giải

Số 12,057 làm tròn đến hàng phần trăm là 12,06.

Số 40,1534 làm tròn đến hàng phần trăm là 40,15.

Bài 8. Cho điểm A nằm giữa hai điểm O và B sao cho \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{cm}};{\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}6{\rm{cm}}.\)

a) Tính độ dài đoạn thẳng\(AB\)?

b) Điểm \(A\) có là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) không? Vì sao?

Phương pháp

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB dựa vào OA và OB.

b) Kiểm tra xem OA và AB có bằng nhau hay không.

Lời giải

a) Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và B nên OA + AB = OB suy ra:

AB = OB – OA = 6 – 3 = 3(cm)

b) Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và B, OA = AB = \(\frac{1}{2}\)OB (\(3 = \frac{1}{2}.6\)) nên A là trung điểm của OB.

Bài 9. Cho hai tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) đối nhau. Trên tia \({\rm{Ox}}\) lấy điểm \({\rm{A}}\) sao cho \({\rm{OA}} = 4\;{\rm{cm}}\). Trên tia \({\rm{Oy}}\) lấy điểm \({\rm{B}}\) sao cho \({\rm{OB}} = 2\;{\rm{cm}}\). Gọi \({\rm{C}}\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{OA}}\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \({\rm{AB}}\).

b) Điểm \({\rm{O}}\) có là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{BC}}\) không? Vì sao?

c) Vẽ tia \({\rm{Oz}}\) khác các tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\). Viết tên các góc có trong hình vẽ.

Phương pháp

Vẽ hình theo hướng dẫn.

a) Xác định độ dài đoạn thẳng AB qua OA và OB.

b) Chứng minh OB = OC và O nằm giữa B và C nên O là trung điểm của BC.

c) Vẽ tia Oz và kể tên các góc trong hình.

Lời giải

Vẽ hình

a) Theo hình vẽ: \(AB = OA + OB = 4 + 2 = 6\;{\rm{cm}}\)

Vậy \(AB = 6\;{\rm{cm}}\)

b) Vì C là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{OA}}\) nên \(OC = \frac{{OA}}{2} = \frac{4}{2} = 2\;{\rm{cm}}\)

Suy ra \({\rm{OB}} = {\rm{OC}}\)

Lại có \({\rm{O}}\) nằm giữa \({\rm{B}}\) và \({\rm{C}}\)

Do đó O là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{BC}}\)

Vậy \({\rm{O}}\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm{BC}}\).

c)

Các góc có trong hình vẽ là:

\(\widehat {{\rm{xOz}}};\widehat {{\rm{yOz}}};\widehat {{\rm{xOy}}},\widehat {xAy},\widehat {xCy},\widehat {xBy}\)

Bài 10. 1. Cho đoạn thẳng có độ dài AB = 9cm, điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 3cm. Điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho \(CD = \frac{1}{2}DB\).

a) Vẽ hình.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng CB, CD và AD.

2. Cho các hình vẽ.

Trong các góc ở hình vẽ trên, góc nào là góc nhọn, góc tù, góc vuông, góc bẹt?

Phương pháp

1. a) Dựa vào dữ kiện đề bài để vẽ hình.

b) Tính CB, CD và AD thông qua AB.

2. Sử dụng đặc điểm của các loại góc để xác định.

Lời giải

1.

a) Ta có hình vẽ:

b) Độ dài đoạn thẳng CB là: CB = AB – AC = 9 – 3 = 6(cm)

Vì \(CD = \frac{1}{2}DB\) và CB = CD + DB (vì D nằm giữa B và C) nên ta có:

\(CB = \frac{1}{2}DB + DB = \frac{3}{2}DB\)

Suy ra độ dài đoạn thẳng DB là: \(6:\frac{3}{2} = 6.\frac{2}{3} = 4\)(cm)

Do đó độ dài đoạn thẳng CD là: CD = CB – DB = 6 – 4 = 2 (cm)

Vì điểm A và D nằm khác phía với C nên C nằm giữa A và D, suy ra

AD = AC + CD = 3 + 2 = 5 (cm)

2. Trong các hình vẽ trên, ta có:

+) Góc xEy là góc nhọn

+) Góc nGz là góc tù

+) Góc lFm là góc vuông

+) Góc aHb là góc bẹt

Bài 11*. So sánh S với 2, biết \(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\).

Phương pháp

Nhân hai vế của S với 2 để rút gọn S.

Lời giải

\(S = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(2S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{4}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{{2023}}{{{2^{2022}}}}\)

\(2S - S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{2022}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(2S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{2021}}}} - \frac{{2023}}{{{2^{2022}}}}\)

\(2S - S = 2 - \frac{{2024}}{{{2^{2022}}}} + \frac{{2023}}{{{2^{2023}}}}\)

\(S = 2 - \frac{{4048 - 2023}}{{{2^{2023}}}}\)

Vậy \(S < 2\).

Bài 12*. Cho S = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}\) và P = \(\frac{1}{{49}} + \frac{2}{{48}} + \frac{3}{{47}} + ... + \frac{{48}}{2} + \frac{{49}}{1}\). Tính \(\frac{S}{P}\).

Phương pháp

Biểu diễn P theo S bằng cách phân tích số 49 thành tổng của 49 số 1 và nhóm vào các phân số còn lại.

Lời giải

Xét P, ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{49}} + \frac{2}{{48}} + \frac{3}{{47}} + ... + \frac{{48}}{2} + \frac{{49}}{1}\\ = \frac{{49}}{1} + \frac{{48}}{2} + ... + \frac{3}{{47}} + \frac{2}{{48}} + \frac{1}{{49}}\\ = 49 + \frac{{48}}{2} + ... + \frac{3}{{47}} + \frac{2}{{48}} + \frac{1}{{49}}\\ = \left( {1 + \frac{{48}}{2}} \right) + ... + \left( {1 + \frac{3}{{47}}} \right) + \left( {1 + \frac{2}{{48}}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{{49}}} \right) + 1\\ = \frac{{50}}{2} + ... + \frac{{50}}{{47}} + \frac{{50}}{{48}} + \frac{{50}}{{49}} + \frac{{50}}{{50}}\\ = 50\left( {\frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{47}} + \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right)\\ = 50.S\end{array}\)

Khi đó \(\frac{S}{P} = \frac{S}{{50S}} = \frac{1}{{50}}\)

Vậy \(\frac{S}{P} = \frac{1}{{50}}\)