Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

I. Lý thuyết cơ bản

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Tương tự, phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit, và bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit.

Để giải các phương trình và bất phương trình này, chúng ta cần nắm vững các tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit, cũng như các quy tắc biến đổi tương đương.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình mũ cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình 2^x = 8. Ta có 2^x = 2³, suy ra x = 3.

Dạng 2: Giải phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình 4^x = 8. Ta đưa về cùng cơ số 2: (2²)^x = 2³, suy ra 2^2x = 2³, do đó 2x = 3 và x = 1.5.

Dạng 3: Giải phương trình lôgarit cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x) = 3. Ta có x = 2³, suy ra x = 8.

Dạng 4: Giải phương trình lôgarit đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình log₄(x) = log₂(x). Ta đổi cơ số về 2: log_2²(x) = log₂(x), suy ra (1/2)log₂(x) = log₂(x). Điều này chỉ xảy ra khi log₂(x) = 0, tức là x = 1.

Dạng 5: Giải bất phương trình mũ

Ví dụ: Giải bất phương trình 2^x > 4. Ta có 2^x > 2², suy ra x > 2.

Dạng 6: Giải bất phương trình lôgarit

Ví dụ: Giải bất phương trình log₂(x) < 3. Ta có x < 2³, suy ra x < 8. Tuy nhiên, cần lưu ý điều kiện xác định của lôgarit là x > 0, do đó 0 < x < 8.

III. Phương pháp giải

Để giải các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Đây là phương pháp quan trọng để giải các phương trình mũ và lôgarit.
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit: Hàm số mũ đồng biến hoặc nghịch biến tùy thuộc vào cơ số. Hàm số lôgarit cũng có tính chất tương tự.
Biến đổi tương đương: Sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương để đơn giản hóa phương trình hoặc bất phương trình.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

IV. Bài tập ví dụ và lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình 3^2x-1 = 27.

Lời giải: Ta có 3^2x-1 = 3³, suy ra 2x-1 = 3, do đó 2x = 4 và x = 2.

Bài 2: Giải bất phương trình log₂(x+1) > 1.

Lời giải: Ta có x+1 > 2¹, suy ra x+1 > 2, do đó x > 1. Điều kiện xác định của lôgarit là x+1 > 0, tức là x > -1. Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn nên tự giải thêm các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy nhớ áp dụng các phương pháp đã học và kiểm tra lại kết quả của mình.

Chúc bạn học tốt!