Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Giải các bất phương trình sau:
Đề bài
Giải các bất phương trình sau:
a) \({\log _3}\left( {x + 4} \right) < 2\);
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4\);
c) \({\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1\);
d) \({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\);
e) \(2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)\);
g) \(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình lôgarit để giải bất phương trình:
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:
Bất phương trình | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
\({\log _a}x > b\) | \(x > {a^b}\) | \(0 < x < {a^b}\) |
\({\log _a}x \ge b\) | \(x \ge {a^b}\) | \(0 < x \le {a^b}\) |
\({\log _a}x < b\) | \(0 < x < {a^b}\) | \(x > {a^b}\) |
\({\log _a}x \le b\) | \(0 < x \le {a^b}\) | \(x \ge {a^b}\) |
Chú ý:
+ Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) > v\left( x \right)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: \(x + 4 > 0 \) \( \Leftrightarrow x > - 4\)
\({\log _3}\left( {x + 4} \right) < 2 \) \( \Leftrightarrow x + 4 < {3^2} \) \( \Leftrightarrow x < 5\)
Kết hợp với ĐK ta có: \( - 4 < x < 5\)
b) Điều kiện: \(x > 0\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}x \ge 4 \) \( \Leftrightarrow x \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \) \( \Leftrightarrow x \le \frac{1}{{16}}\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 < x \le \frac{1}{{16}}\).
c) Điều kiện: \(x - 1 > 0 \) \( \Leftrightarrow x > 1\)
\({\log _{0,25}}\left( {x - 1} \right) \le - 1 \) \( \Leftrightarrow x - 1 \ge 0,{25^{ - 1}} \) \( \Leftrightarrow x - 1 \ge 4 \) \( \Leftrightarrow x \ge 5\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(x \ge 5\).
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge 5\)
d) Điều kiện: \({x^2} - 24x > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 24\end{array} \right.\)
\({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2} \) \( \Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 25} \right) \ge 0\)\( \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 25\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge 25;x \le - 1\)
e) \(2{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\left( {**} \right)\\{\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {3x + 7} \right)\left( * \right)\end{array} \right.\)
(*)\( \) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3x + 7 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - 3x - 7 \le 0 \) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0\)
\( \) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0 \) \( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)
Kết hợp với (**) ta có: \( - 1 < x \le 3\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x \le 3\)
g) Điều kiện: \(x > - 1\)
\(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\)
\( \) \( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}3\left( {x + 7} \right) \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 3x + 21\)
\( \) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) \le 0 \) \( \Leftrightarrow - 4 \le x \le 5\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 1 < x \le 5\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x \le 5\)
Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) để giải quyết các bài toán liên quan đến việc tìm tập xác định, tập giá trị, tính chu kỳ và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi tập trung vào một khía cạnh khác nhau của hàm số lượng giác. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
Để tìm tập xác định của hàm số, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. Tức là:
2 - cos(x) ≥ 0
cos(x) ≤ 2
Vì -1 ≤ cos(x) ≤ 1 với mọi x, nên bất đẳng thức cos(x) ≤ 2 luôn đúng. Do đó, tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).
Vì -1 ≤ sin(x) ≤ 1, ta có:
-3 ≤ 3sin(x) ≤ 3
-3 + 1 ≤ 3sin(x) + 1 ≤ 3 + 1
-2 ≤ y ≤ 4
Vậy tập giá trị của hàm số là [-2, 4].
Chu kỳ của hàm số y = cos(x) là 2π. Chu kỳ của hàm số y = cos(ax) là 2π/|a|. Trong trường hợp này, a = 2, nên chu kỳ của hàm số y = cos(2x) là 2π/2 = π.
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:
Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số y = tan(x + π/4)
Giải: Hàm số y = tan(x) có tập xác định là tất cả các giá trị x sao cho x ≠ π/2 + kπ (k là số nguyên). Do đó, hàm số y = tan(x + π/4) có tập xác định là tất cả các giá trị x sao cho x + π/4 ≠ π/2 + kπ (k là số nguyên).
x ≠ π/2 - π/4 + kπ
x ≠ π/4 + kπ (k là số nguyên)
Khi giải các bài tập về hàm số lượng giác, bạn cần chú ý đến các điểm sau:
Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, bạn có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
