Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo: Tổng quan và hướng dẫn giải chi tiết

Chương 3 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những kiến thức quan trọng, là tiền đề cho việc học các khái niệm phức tạp hơn trong các chương sau. Chương này giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa của giới hạn, cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm và trên một khoảng, cũng như các điều kiện để một hàm số được coi là liên tục.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn: Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là lim(x→a) f(x) là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Việc hiểu rõ khái niệm này là bước đầu tiên để làm quen với giải tích.

2. Các dạng giới hạn thường gặp:

Giới hạn tại vô cực: lim(x→∞) f(x) và lim(x→-∞) f(x)
Giới hạn một bên: lim(x→a+) f(x) và lim(x→a-) f(x)

3. Các phương pháp tính giới hạn:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị x = a vào hàm số (nếu có thể).
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các công thức phân tích đa thức, hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Phương pháp nhân liên hợp: Áp dụng khi biểu thức chứa căn thức.
Sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim(x→0) sin(x)/x = 1, lim(x→0) (1-cos(x))/x = 0,...

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định.
lim(x→x₀) f(x) tồn tại.
lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

III. Bài tập minh họa và hướng dẫn giải

Bài tập 1: Tính lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử: (x² - 4) = (x - 2)(x + 2). Do đó, lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4.

Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải:

f(1) = 1² = 1
lim(x→1-) f(x) = lim(x→1-) x² = 1
lim(x→1+) f(x) = lim(x→1+) (2x - 1) = 1

Vì lim(x→1-) f(x) = lim(x→1+) f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và hàm số liên tục, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo cung cấp một lượng lớn bài tập với các mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các tài liệu tham khảo khác trên internet hoặc tham gia các khóa học trực tuyến để nâng cao kiến thức.

Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và bài tập minh họa trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong học tập.