Bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 84 là một phần quan trọng trong quá trình ôn luyện và củng cố kiến thức của học sinh. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng học sinh trong quá trình học tập, cung cấp các tài liệu học tập chất lượng và lời giải bài tập chính xác.
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} \); c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\).
Đề bài
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} \);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn để tính: Cho điểm \({x_0}\) thuộc khoảng K và hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to {x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ne - 1\) với mọi n và \({x_n} \to - 1\) khi \(n \to + \infty \).
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^3 - 3{x_n}} \right) = \lim x_n^3 - 3\lim {x_n} = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) = 2\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right) = 2\);
b) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ge \frac{{ - 5}}{2},{x_n} \ne 2\) với mọi n và \(\lim {x_n} = 2\)
Ta có: \(\lim \sqrt {2{x_n} + 5} = \sqrt {2\lim {x_n} + \lim 5} = \sqrt {2.2 + 5} = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} = 3\);
c) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = + \infty \).
Ta có: \(\lim \frac{{4 - {x_n}}}{{2{x_n} + 1}}\)\( = \lim \frac{{\frac{4}{{{x_n}}} - 1}}{{2 + \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{\lim \frac{4}{{{x_n}}} - \lim 1}}{{\lim 2 + \lim \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{0 - 1}}{{2 + 0}} = \frac{{ - 1}}{2}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Bài 1 trang 84 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các điểm đặc biệt của parabol để giải quyết các bài toán liên quan đến việc xác định phương trình parabol khi biết các yếu tố khác nhau.
Bài 1 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi yêu cầu học sinh thực hiện một thao tác cụ thể liên quan đến việc xác định phương trình parabol. Cụ thể:
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và kiến thức sau:
Bước 1: Viết phương trình parabol theo dạng chính tắc: y = a(x - 1)2 + 2
Bước 2: Thay tọa độ điểm A(3; 0) vào phương trình để tìm a: 0 = a(3 - 1)2 + 2 => 0 = 4a + 2 => a = -1/2
Bước 3: Thay a = -1/2 vào phương trình chính tắc: y = -1/2(x - 1)2 + 2
Kết luận: Phương trình parabol cần tìm là y = -1/2(x - 1)2 + 2
Bước 1: Viết phương trình parabol theo dạng chính tắc: y = a(x + 1)2 - 2
Bước 2: Thay tọa độ điểm B(0; -1) vào phương trình để tìm a: -1 = a(0 + 1)2 - 2 => -1 = a - 2 => a = 1
Bước 3: Thay a = 1 vào phương trình chính tắc: y = (x + 1)2 - 2
Kết luận: Phương trình parabol cần tìm là y = (x + 1)2 - 2
Bước 1: Viết phương trình parabol theo dạng chính tắc: y = a(x + 2)2 + k
Bước 2: Thay tọa độ điểm C(1; 4) vào phương trình: 4 = a(1 + 2)2 + k => 4 = 9a + k
Bước 3: Thay tọa độ điểm D(-3; 4) vào phương trình: 4 = a(-3 + 2)2 + k => 4 = a + k
Bước 4: Giải hệ phương trình: {9a + k = 4; a + k = 4}. Từ đó suy ra a = 0 và k = 4. Tuy nhiên, a ≠ 0 nên có lẽ đề bài có sai sót.
Kết luận: Bài toán có thể không có nghiệm hoặc đề bài có sai sót.
Bước 1: Viết phương trình parabol theo dạng chính tắc: y = a(x - 3)2 + k
Bước 2: Thay tọa độ điểm E(1; -2) vào phương trình: -2 = a(1 - 3)2 + k => -2 = 4a + k
Bước 3: Thay tọa độ điểm F(5; -2) vào phương trình: -2 = a(5 - 3)2 + k => -2 = 4a + k
Bước 4: Giải hệ phương trình: {4a + k = -2; 4a + k = -2}. Hệ phương trình có vô số nghiệm, do đó k có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
Kết luận: Phương trình parabol có dạng y = a(x - 3)2 + k, với a ≠ 0 và k là một số thực bất kỳ.
Khi giải các bài tập về parabol, học sinh cần chú ý:
Bài 1 trang 84 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về parabol. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
