Bài 7 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Đề bài
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.
+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối tứ diện.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: \(AC \bot BD,AC \bot BB' \) \( \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D} \right) \) \( \Rightarrow AC \bot B'O\)
Khi đó, \(BO \bot AC,B'O \bot AC,BO \subset \left( {ABCD} \right),B'O \subset \left( {B'AC} \right)\), AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, \(\left( {\left( {B'AC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {BO,B'O} \right) = \widehat {B'OB} = {30^0}\)
Ta có: \(d\left( {B,\left( {D'AC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\)
Chứng minh được: \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right) \) \( \Rightarrow \left( {D'AC} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).
Từ D kẻ \(DH \bot D'O\left( {H \in D'O} \right)\). Do đó, \(d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = DH = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác B’OB vuông tại B có: \(\frac{{BB'}}{{BO}} = \tan {30^0} \) \( \Rightarrow OD = BO = \sqrt 3 BB'\)
Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:
\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{3BB{'^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow D'D = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \) \( \Rightarrow OB = a\)
Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: \(\frac{{BI}}{{D'I}} = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow d\left( {D',\left( {B'AC} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) \) \( \Rightarrow {V_{ACB'D'}} = 2{V_{B'ABC}}\)
Tam giác AOB vuông tại O có: \(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = 2{S_{ABO}} = 2.\frac{1}{2}.OB.OA = {a^2}\sqrt 3 \)
Suy ra: \({V_{B'ABC}} = \frac{1}{3}BB'.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{3}\). Vậy \({V_{ACB'D'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\)
Bài 7 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài 7 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2:
(Giả sử đề bài là: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1)
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức:
f'(x) = (x^3)' - (2x^2)' + (5x)' - (1)'
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lũy thừa x^n = nx^(n-1), ta có:
(x^3)' = 3x^2
(2x^2)' = 2 * 2x = 4x
(5x)' = 5
(1)' = 0
Vậy, f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Trong quá trình giải bài tập, chúng ta đã sử dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản. Việc hiểu rõ các quy tắc này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán đạo hàm một cách chính xác và hiệu quả.
Ngoài ra, học sinh cũng cần chú ý đến việc kiểm tra lại kết quả sau khi tính đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả hơn.
Học sinh có thể tìm hiểu thêm về đạo hàm trong các sách giáo khoa, sách tham khảo hoặc trên các trang web học toán online uy tín.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 7 trang 76 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 và tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
