Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 3 trang 75 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án và cách giải bài tập một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm các giới hạn sau: a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\); b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\); c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\); d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\);
b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\);
c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\);
d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right| < 1\)).
b, c, d) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a\), \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right| < 1\)), \(\lim c = c\) (c là hằng số).
Lời giải chi tiết
a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\).
b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \lim {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{0}{{1 - 0}} = 0\);
c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\)\( = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{1 - \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \lim {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}\)\( = \frac{{1 - 0}}{{1 + 0}} = 1\);
d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\)\( = \lim \frac{{{{4.4}^n}}}{{{3^n} + {4^n}}}\)\( = \frac{4}{{\lim {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 1}}\)\( = \frac{4}{{0 + 1}} = 4\).
Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của phép biến hình affine, cũng như khả năng nhận biết và xác định các yếu tố của phép biến hình trong các tình huống cụ thể.
Bài 3 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải câu a, ta cần xác định ma trận của phép biến hình affine. Dựa vào các thông tin cho trước, ta có thể thiết lập hệ phương trình để tìm ra các phần tử của ma trận. Sau khi tìm được ma trận, ta có thể áp dụng nó để tính toán tọa độ của ảnh của các điểm cho trước.
Câu b yêu cầu tìm ảnh của một đường thẳng qua phép biến hình affine. Để làm điều này, ta cần tìm ảnh của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó. Sau khi tìm được ảnh của hai điểm, ta có thể xác định phương trình của đường thẳng ảnh.
Câu c là một bài toán ứng dụng, yêu cầu học sinh sử dụng phép biến hình affine để chứng minh một tính chất hình học. Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm một phép biến hình affine phù hợp để biến hình ban đầu thành một hình đơn giản hơn, từ đó chứng minh được tính chất cần thiết.
Khi giải bài tập về phép biến hình affine, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Giả sử ta có một phép biến hình affine được xác định bởi ma trận A và vector b. Để tìm ảnh của điểm M(x, y) qua phép biến hình này, ta thực hiện phép toán sau:
M'(x', y') = A * M + b
Trong đó, M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình affine.
Bài 3 trang 75 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hình affine. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải quyết các bài toán liên quan.
