Bài 3 trang 68 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của B’D’ và A’C’. Gọi P là trung điểm của OC’.
Vẽ \(OH \bot MP,HE//NP,EF//OH\) (H thuộc MP, E thuộc MN, F thuộc B’D’)
Chứng minh được \(B'D' \bot \left( {A'C'CA} \right)\) nên \(B'D' \bot OH\), mà \(EF//OH\) nên \(EF \bot B'D'\left( 1 \right)\)
Vì NP//B’D’ nên \(NP \bot \left( {A'C'CA} \right) \Rightarrow NP \bot OH\), mà \(OH \bot MP\) nên \(OH \bot \left( {MNP} \right)\) hay \(OH \bot MN\), mà \(EF//OH\)\( \Rightarrow EF \bot MN\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(d\left( {MN,B'D'} \right) = EF = OH\)
Tam giác MOP vuông tại O, ta có: \(OM = a,OP = \frac{1}{2}OC' = \frac{1}{4}A'C' = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) nên
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = {\left( {\frac{4}{{a\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OH = \frac{a}{3}\)
Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến sự biến thiên của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài 3 trang 68 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Giả sử bài toán yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x
Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Vậy hàm số có hai điểm cực trị: x1 = 0 và x2 = 2
Xét dấu y':
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
Vậy hàm số có một điểm uốn: x = 1
Xét dấu y'':
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại x = 0 (y = 2), điểm cực tiểu tại x = 2 (y = -2) và điểm uốn tại x = 1 (y = 0).
Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số. Đạo hàm giúp chúng ta xác định được các điểm cực trị, khoảng đơn điệu, điểm uốn và khoảng lồi lõm của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em học sinh nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách bài tập và các đề thi thử. Ngoài ra, các em cũng có thể tham khảo các tài liệu học tập trực tuyến và các video hướng dẫn trên YouTube.
Giaibaitoan.com hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài 3 trang 68 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2 và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
