Bài 5 trang 162 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của 100 sinh viên được cho ở biểu đồ bên.
Đề bài
Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của 100 sinh viên được cho ở biểu đồ bên.
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:
Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính như sau: \(\overline x = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}\), trong đó \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({M_O}\) được xác định bởi công thức: \({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Gọi n là cỡ mẫu.
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:
Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)
Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có bảng tần số ghép nhóm gồm các giá trị đại diện của nhóm là:
Cỡ mẫu \(n = 100\)
Số trung bình của mẫu số liệu là: \(\overline x = \frac{{12.3 + 20.5 + 37.7 + 21.9 + 11.10}}{{100}} = 6,94\)
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {6;8} \right)\).
Do đó, \({u_m} = 6,{u_{m + 1}} = 8,{n_m} = 37,{n_{m + 1}} = 20,{u_{m + 1}} - {u_m} = 8 - 6 = 2\)
Mốt của mẫu số liệu là: \({M_O} = 6 + \frac{{37 - 20}}{{\left( {37 - 20} \right) + \left( {37 - 21} \right)}}.2 = \frac{{232}}{{33}}\)
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{100}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1},...,{x_{12}} \in \left[ {2;4} \right),{x_{13}},...,{x_{32}} \in \left[ {4;6} \right),{x_{33}},...,{x_{69}} \in \left[ {6;8} \right),\) \({x_{70}},...,{x_{90}} \in \left[ {8;10} \right),{x_{90}},...,{x_{100}} \in \left[ {10;12} \right)\).
Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {6;8} \right)\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:\({Q_2} = 6 + \frac{{\frac{{100}}{2} - \left( {12 + 20} \right)}}{{37}}.\left( {8 - 6} \right) = \frac{{258}}{{37}}\)
Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {4;6} \right)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 4 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 12}}{{20}}.\left( {6 - 4} \right) = 5,3\)
Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8;10} \right)\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {12 + 20 + 37} \right)}}{{21}}.\left( {10 - 8} \right) = \frac{{60}}{7}\)
Bài 5 trong sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa rõ hơn, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích chi tiết cách giải bài 5 trang 162 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1. Giả sử bài toán yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm tới hạn.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Tại x = 0, hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
limx→+∞ y = +∞
limx→-∞ y = -∞
Hàm số không có tiệm cận.
Dựa vào các thông tin đã thu thập, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 5 trang 162 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
