Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\). a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
Đề bài
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \);
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
Lời giải chi tiết
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{18}};\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}}} \right\}\).
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên:
TH1: \( - \pi < \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 35}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
TH2: \( - \pi < \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 31}}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}}} \right\}\).
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9} \) \( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{9} = \frac{{4\pi }}{9} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < k < \frac{2}{3}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right\}\).
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về định nghĩa, tính chất của hàm số lượng giác, cách xác định tập xác định, tập giá trị, và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.
Bài tập 5 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
Để giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Xét hàm số y = sin(2x). Để xác định tập xác định của hàm số này, ta thấy rằng hàm sin(x) xác định với mọi x thuộc R. Do đó, hàm số y = sin(2x) cũng xác định với mọi x thuộc R. Tập xác định của hàm số là D = R.
Để giải quyết hiệu quả bài tập 5 trang 31, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Dưới đây là một số mẹo giúp bạn giải bài tập hàm số lượng giác một cách hiệu quả:
Hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về hàm số lượng giác, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán này và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
