Bài 12 trang 91 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tổ hợp và hoán vị để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Kí hiệu diện tích tam giác ABC là \(S\left( \alpha \right)\) (phụ thuộc vào \(\alpha \)). Xét tính liên tục của hàm số \(S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right)\);
Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\). Kí hiệu diện tích tam giác ABC là \(S\left( \alpha \right)\) (phụ thuộc vào \(\alpha \)). Xét tính liên tục của hàm số \(S\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right)\); \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp để tính: Hàm số \(y = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải chi tiết
\(S\left( \alpha \right) = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.2\cos \alpha .2\sin \alpha = \sin 2\alpha ,\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Do hàm số \(y = \sin 2\alpha \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = S\left( \alpha \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} \sin 2\alpha = \sin 0 = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \sin 2\alpha = \sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0\)
Bài 12 trang 91 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương Tổ hợp và Xác suất, cụ thể là phần Hoán vị. Bài toán này thường yêu cầu học sinh tính số lượng các cách sắp xếp các phần tử khác nhau trong một tập hợp, hoặc tìm số lượng các hoán vị thỏa mãn một điều kiện nhất định.
Bài 12 thường đưa ra một tình huống thực tế, ví dụ như sắp xếp các cuốn sách trên giá, xếp chỗ ngồi cho các học sinh, hoặc chọn người đại diện cho một nhóm. Dựa vào tình huống đó, học sinh cần xác định đúng số lượng các phần tử cần sắp xếp, và xem xét có yếu tố lặp lại hay không.
Để giải bài 12 trang 91, các em cần thực hiện các bước sau:
Bài toán: Có 5 cuốn sách khác nhau được xếp trên giá sách. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
Giải:
Số cách xếp 5 cuốn sách khác nhau là hoán vị của 5 phần tử, được tính bằng công thức:
P(5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Vậy có 120 cách xếp khác nhau.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài toán về hoán vị, cần chú ý đến các yếu tố sau:
Bài 12 trang 91 Sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm hoán vị và ứng dụng của nó trong thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
